有限元中单元节点和积分点的区别

学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。

1. 节点
在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。
以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.
则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：

T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}
其中，Si=1/4(1-x)(1-y)，Sj=1/4(1+x)(1-y)] ，Sm=1/4(1+x)(1+y)，Sn=1/4(1-x)(1+y)

(单元的形函数我们可以从手册中查到)
从而我们知道了温度在单元内的分布。
2. 积分点
    我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只与单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
    应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
    从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适。
原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分）
牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式

个人理解：

1.节点作用：构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值

2.积分点作用：构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。对于newton-cote积分点的选取，这种“映射”看起来，节点和积分点是同一个位置或说是同一点，而对于高斯积分点位置与节点是不同的。

故有如下结果：

1.由于高斯积分点的这种变换比较高，在方程求解结束，返回积分点上的应力解比较准确。
2.至于Mindlin中厚板有剪力锁死问题，采用缩聚积分，也是应为这种坐标的变换关系（可见《有限单元法基本原理和数值方法p345页10.4.11式可知），力的边界条件只有剪切，采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响，但是也可能引起刚度矩阵的奇异，所以对于中厚板的积分点选取不同一般的方案。

1.ANSYS手册(Chapter 13)上列出各种单元的积分点位置。
2.王瑁成的《有限单元法》第五章，有解释为什么积分点应力更加精确。

3.因为积分点应力更精确，所以我们一般采用积分点的应力内插或外延确定节点应力。特殊情况除外。

单元节点和积分点是不同的两个概念！
积分点是在进行函数积分的时候，为了增加精度，选取的积分点，也就是高斯积分
单元节点是你选取单元的时候就已经定下的点。

一定有单元节点，但不一定有积分点

在网格划分完了所有的节点就都给定了，就是你网格中的每个点，他是有限元模型中“真实存在”的点。但是高斯点纯粹是因为高斯积分这种积分方式引入的。数值分析告诉我们，数值积分有很多方法，比如辛普森积分，高斯积分等，比如说，如果你采用辛普森积分就不存在高斯点这个概念，只有当你采用高斯积分才会有高斯点，不过有限元大多都采用高斯积分。;看过高斯积分就知道高斯点是怎么一回事了。
有限元求解的结果是每个节点的位移，然后通过形函数插值得到单元任何一个点的位移，当然可以计算出高斯积分点的位移。至于应力，一般是先求解出高斯点出的应力，然后通过平均化的技术平均到每个节点上，高斯点处的应力精度最高，节点最差。

沙漏现象由于积分点过少造成单元变形过大，剪力自锁由于没有中节点，单元边界无法弯曲，造成单元变形过小。二者是相对立的两个现象，都属于有限元方法自身上的缺陷。 剪切闭锁现象一般发生在出现弯曲变形的线性完全积分单元中（例如CPS4、CPE4、C3D8）。线性单元的直边不能承受弯曲载荷作用，分析过程中可能出现本来不存在的虚假剪应变，使单元的弯曲刚度过大，计算的位移值偏小，即单元的位移场不能模拟由于弯曲而引起的剪切变形和弯曲变形，这就是所谓的“剪切闭锁”现象。当单元长度与厚度的数量级相同或长度大于厚度时，此现象会更严重。如果怀疑模型中出现了剪切闭锁现象，可以考虑采用非协调单元或者缩减积分单元。如果模型中网格扭曲非常厉害，仅仅改变单元类型往往不会使计算结果得到很大的改进，划分网格时尽可能保证单元形状是规则的。

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