看了coursea的机器学习课，知道了梯度下降法。一开始只是对其做了下简单的了解。随着内容的深入，发现梯度下降法在很多算法中都用的到，除了之前看到的用来处理线性模型，还有BP神经网络等。于是就有了这篇文章。

本文主要讲了梯度下降法的两种迭代思路，随机梯度下降（Stochastic gradient descent）和批量梯度下降（Batch gradient descent）。以及他们在python中的实现。

梯度下降法

梯度下降是一个最优化算法，通俗的来讲也就是沿着梯度下降的方向来求出一个函数的极小值。那么我们在高等数学中学过，对于一些我们了解的函数方程，我们可以对其求一阶导和二阶导，比如说二次函数。可是我们在处理问题的时候遇到的并不都是我们熟悉的函数，并且既然是机器学习就应该让机器自己去学习如何对其进行求解，显然我们需要换一个思路。因此我们采用梯度下降，不断迭代，沿着梯度下降的方向来移动，求出极小值。

此处我们还是用coursea的机器学习课中的案例，假设我们从中介那里拿到了一个地区的房屋售价表，那么在已知房子面积的情况下，如何得知房子的销售价格。显然，这是一个线性模型，房子面积是自变量x，销售价格是因变量y。我们可以用给出的数据画一张图。然后，给出房子的面积，就可以从图中得知房子的售价了。

现在我们的问题就是，针对给出的数据，如何得到一条最拟合的直线。

对于线性模型，如下。

• h(x)是需要拟合的函数。
• J(θ)称为均方误差或cost function。用来衡量训练集众的样本对线性模式的拟合程度。
• m为训练集众样本的个数。
• θ是我们最终需要通过梯度下降法来求得的参数。

接下来的梯度下降法就有两种不同的迭代思路。

批量梯度下降（Batch gradient descent）

现在我们就要求出J(θ)取到极小值时的θTθT向量。之前已经说过了，沿着函数梯度的方向下降就能最快的找到极小值。

1. 计算J(θ)关于θTθT的偏导数,也就得到了向量中每一个θθ的梯度。
   ∂J(θ)∂θj=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(yi−hθ(xi))=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(∑j=0nθjxij−yi)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xij(1)(2)(3)(1)∂J(θ)∂θj=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(yi−hθ(xi))(2)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))∂∂θj(∑j=0nθjxji−yi)(3)=−1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xji
2. 沿着梯度的方向更新参数θ的值
   θj:=θj+α∂J(θ)∂θj:=θj−α1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xijθj:=θj+α∂J(θ)∂θj:=θj−α1m∑i=0m(yi−hθ(xi))xji
3. 迭代直到收敛。

可以看到，批量梯度下降是用了训练集中的所有样本。因此在数据量很大的时候，每次迭代都要遍历训练集一遍，开销会很大，所以在数据量大的时候，可以采用随机梯度下降法。

随机梯度下降（Stochastic gradient descent）

和批量梯度有所不同的地方在于，每次迭代只选取一个样本的数据，一旦到达最大的迭代次数或是满足预期的精度，就停止。

可以得出随机梯度下降法的θ更新表达式。

迭代直到收敛。

两种迭代思路的python实现

下面是python的代码实现，现在仅仅是用纯python的语法（python2.7）来实现的。随着学习的深入，届时还会有基于numpy等一些库的实现，下次补充。

#encoding:utf-8#随机梯度 def stochastic_gradient_descent(x,y,theta,alpha,m,max_iter): """随机梯度下降法，每一次梯度下降只使用一个样本。  :param x: 训练集种的自变量  :param y: 训练集种的因变量  :param theta: 待求的权值  :param alpha: 学习速率  :param m: 样本总数  :param max_iter: 最大迭代次数  """ deviation = 1 iter = 0 flag = 0 while True: for i in range(m): #循环取训练集中的一个 deviation = 0 h = theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1] theta[0] = theta[0] + alpha * (y[i] - h)*x[i][0] theta[1] = theta[1] + alpha * (y[i] - h)*x[i][1] iter = iter + 1 #计算误差 for i in range(m): deviation = deviation + (y[i] - (theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1])) ** 2 if deviation <EPS or iter >max_iter: flag = 1 break if flag == 1 : break return theta, iter #批量梯度 def batch_gradient_descent(x,y,theta,alpha,m,max_iter): """批量梯度下降法，每一次梯度下降使用训练集中的所有样本来计算误差。  :param x: 训练集种的自变量  :param y: 训练集种的因变量  :param theta: 待求的权值  :param alpha: 学习速率  :param m: 样本总数  :param max_iter: 最大迭代次数  """ deviation = 1 iter = 0 while deviation > EPS and iter < max_iter: deviation = 0 sigma1 = 0 sigma2 = 0 for i in range(m): #对训练集中的所有数据求和迭代 h = theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1] sigma1 = sigma1 + (y[i] - h)*x[i][0] sigma2 = sigma2 + (y[i] - h)*x[i][1] theta[0] = theta[0] + alpha * sigma1 /m theta[1] = theta[1] + alpha * sigma2 /m #计算误差 for i in range(m): deviation = deviation + (y[i] - (theta[0] * x[i][0] + theta[1] * x[i][1])) ** 2 iter = iter + 1 return theta, iter #运行 为两种算法设置不同的参数 # data and init matrix_x = [[2.1,1.5],[2.5,2.3],[