python矩阵行秩函数_为什么矩阵行秩等于列秩？

挖坟

最近整理一些基础知识的时候，也被这个问题困惑着。

书上的解释是，任何矩阵通过初等变换都可以化成标准型(单位阵+一些全零行或列)。显然行秩和列秩是相等的。

但是相比代数上的解释，我更想要寻求几何上的解释。

高赞大佬从几何角度解释的原因，但更接近是公式推导出来的结论，仍然很抽象，难以理解。

反复琢磨后，想到了一个更加通俗的角度。

空间变换的角度，A是变换矩阵，X是变换前的坐标，Y是变换后的。

A中的列向量组构成一组基，来替换当前的标准正交基。

A满秩的情况下，就是同维的线性变换。比如R(A)=2，变换前是个平面，变换后仍是个平面。

现在考虑升维的情况，

拆解：

，

尽管β是个三维向量，但是变换后的空间仍然只有两个基底，也就是说，变换前是个平面，变换后仍是个平面。

这意味着A和B的效果是等价的。则将A、B补零成3阶方阵后满足，

。

Rr(B)=Rr(A)， Rc(B)=Rc(A)，A的行秩和列秩相等，则B的行秩和列秩也相等。

这个结论从一维向高维推广，就可以给出答案。

矩阵的行代表空间的维度，列代表空间中基底的数量。矩阵的行秩等于列秩意味着，n个基底的线性组合只能表示一个n维子空间。

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