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二项式定理的常见形式
小插曲
指数为负的二项式定理
当加号变为减号
二项式定理的一般形式
关于广义二项式定理
论二项式定理与组合数的关♂系
总结
二项式定理好难啊...学了好久 QWQQWQ

这篇博客写的有点杂，主要讲证明，仅供娱乐？

二项式定理的常见形式
首先我们看看这个常见的令人头疼的式子：
(x+1)n=∑i=0nC(n,i) xi
(x+1)n=∑i=0nC(n,i) xi

这个式子为什么是对的呢？

我们考虑将左边的式子写成完全形式：

(x+1)(x+1)⋅⋅⋅(x+1)
(x+1)(x+1)···(x+1)

那么我们发现其实可以每次从这 nn 个 (x+1)(x+1) 中选出一个 xx 或者一个 11 ，然后将 n 个选出来的数字相乘累加进 ANSANS

那么我们考虑从 nn 个
(x+1)
(x+1)
中选出 ii 个 xx 的情况有多少种呢

这其实就是组合数中的 C(n,i)C(n,i)，于是乎我们发现原来的式子是正确的

然后讲讲二项式定理的一个应用：
我们考虑从 nn 个物品中选出选出 tt 个物品，那么有多少种选择的方案呢？

既然是二项式定理的应用，那么怎么才能将二项式定理套进去呢？

先别多想，我们考虑用 (x0+x1)(x0+x1) 表示某样物品选或者不选（这里 00 次项就是不选，而 11 次项则是选），这两者相互独立

那么我们可以根据所有物品两两独立将它们的选择方案乘起来，就是 (x0+x1)n(x0+x1)n

考虑为什么可以这么乘？不用想那么多感性理解即可，不理解的话看到下面也能懂的

那么我们考虑一下之前的问题：选出 tt 个物品

那么这里我们将 nn 个 (x0+x1)(x0+x1) 相乘之后 xtxt 的系数其实就是方案数了，因为在这里 xtxt 只可能来自 tt 个不同的 (x0+x1)(x0+x1)中的 x1x1， 也就是说它的含义就是我们在 nn 个(x0+x1)(x0+x1)中选择 tt 个 x1x1 然后每次选出一种方案就令 xtxt 前的系数加一

然后我们把 x0x0 等价成 11，也就是二项式定理的常见形式了

小插曲
我们定义组合数 C(n,m)C(n,m) 为 n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)m!n(n−1)(n−2)···(n−m+1)m! ，这样定义对于下面的证明更有帮助

然后我们再考虑将原式的 求和函数的 终止条件换一下：

(x+1)n=∑i=0∞C(n,i)xi
(x+1)n=∑i=0∞C(n,i)xi

这时候我们可以知道这个式子和之前是等价的，因为 ii 大于 nn 的时候 C(n,i)C(n,i) 是等于 00 的

至于为什么要这样表示看到下面你就知道了

指数为负的二项式定理
然后我们考虑一下 (x+1)(x+1) 的指数推广到 负数 的情况

这个时候其实也有：

(x+1)−n=∑i=0∞C(−n,i) xi=∑i=0∞(−1)i C(n+i−1,i) xi
(x+1)−n=∑i=0∞C(−n,i) xi=∑i=0∞(−1)i C(n+i−1,i) xi

这时候你可能会非常的惊讶... 组合数还能有负的？！

遗憾的告诉你（什么鬼），组合数可以有负的，因为这里的组合数使按之前小插曲里面的定义来的

那么我们考虑怎样转移到最右边的式子：

C(−n,m)=(−n)(−n−1)(−n−2)⋅⋅⋅(−n−m+1)m!
C(−n,m)=(−n)(−n−1)(−n−2)···(−n−m+1)m!

然后我们吧上面的式子里面所有项取反，也就是将他们的符号提取出来，就成了：

C(−n,m)=(−1)(−n)−(−n−m+1)+1n(n+1)(n+2)⋅⋅⋅(n+m−1)m!
C(−n,m)=(−1)(−n)−(−n−m+1)+1n(n+1)(n+2)···(n+m−1)m!

=(−1)mn(n+1)(n+2)⋅⋅⋅(n+m−1)m!
=(−1)mn(n+1)(n+2)···(n+m−1)m!

=(−1)mC(n+m−1,m)
=(−1)mC(n+m−1,m)

就是这样（或许你已经看到过上面的式子了）

把上面的式子再写一遍就是： (x+1)−n=∑∞i=0(−1)iCin+i−1 xi(x+1)−n=∑i=0∞(−1)iCn+i−1i xi

当加号变为减号
（在这里我们略去 n 为负数的情况）

首先的话，我们考虑将上面式子中的 xx 取负，那么原式就变成了：

(−x+1)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi
(−x+1)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi

这样写不好看，换种写法

(1−x)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi
(1−x)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi

这个式子...（相信大家可能看到过的吧）

这里的话后面的式子其实就是把 xx 的负号提了出来，没什么特别的

但是你有没有感觉这个式子有点眼熟？

没错啊，这和 指数为负的二项式定理 中长得有点像的，组合数前面都带着个正负号

于是我们考虑一下吧这里的 n 也取负呢？

那么原式就变成了：

(1−x)−n=∑i=0∞C(n+i−1,i) xi
(1−x)−n=∑i=0∞C(n+i−1,i) xi

也就是说两个正负号抵消掉了...QWQQWQ

这个式子其实是非常有用的，它会在你学生成函数的时候派上大用场

（至于生成函数嘛，登博主学完之后还有时间的话可能就会写篇博客介绍一下）

二项式定理的一般形式
其实上面讲了这么多都是二项式定理的特殊形式（但其实都是比较常见+实用的）

于是下面说说它的一般形式：

(x+y)n=∑i=0nC(n,i)ai⋅bn−iwww.zztjnk.com
(x+y)n=∑i=0nC(n,i)ai·bn−iwww.zztjyy.com

这个东西可以理解为有 n 堆物品，每堆里面有 x 和 y ，每堆只能选一个，要求选择的所有方案之和

具体证明就毋须多言了，上面已经证了一大堆了

关于广义二项式定理
其实广义二项式定理就是上面的那个式子，我们只要将指数 n 的定义域改成实数就好了

也就是说，广义二项式定理对于实数也成立，也就是：

(x+y)α=∑i=0αC(α,i)ai⋅bα−i
(x+y)α=∑i=0αC(α,i)ai·bα−i

而关于 C(α,i)C(α,i) 的值通过小插曲中组合数的定义代就好了

论二项式定理与组合数的关♂系
我们看到上面的二项式定理中都出现了组合数，那么他们两者之间有什么内在联系呢？或者说我们可以通过二项式定理得出组合数的一些性质么？

答案当然是肯定的啦！

第一种情况
我们考虑吧二项式定理的公式中的 xx yy 都变成 11，那么我们会发现下面这个式子：

(1+1)n=∑i=0nCin
(1+1)n=∑i=0nCni

这能说明什么呢？很明显啊！

我们考虑前面其实就是 2 的 n 次幂，后面就是 n 个物品里面选出 1~n 个的方案数之和，那么由二项式定理可以得知他们两者是相等的

从另一个角度出发， n 个物品里面任意选择的方案数等于 ∑ni=0Cin∑i=0nCni，同时也等于 2n2n

前面的式子不需要多解释，考虑后面的式子就是每个物品有选或者不选两个选择，那么总方案数等于所有物品选择的方案数的乘积，这样一来两者的相等关系也就非常明显了

那么我们再考虑一下杨辉三角，杨辉三角的第 i 行 第 j 列对应着 CjiCij

上面的相等关系也就说明了杨辉三角的第 i 行所有数之和等于 2i2i

第二种情况
我们再考虑把 x 变成 1， y 变成 0，这两者会产生什么样的反应呢？我们看下面的式子：

(1−1)n=∑i=0n(−1)i Cin
(1−1)n=∑i=0n(−1)i Cni

（注意，不要认为等式左边恒等于 0 ！ 我们默认 x0x0 为 1 ，对于任意实数！ 同时这里也可以倒过来证明 0 的 0 次幂为 1，算是吧？）

那么我们发现除去 n=0n=0 的情况，CinCni 的偶数项之和 减去 CinCni 的奇数项之和 等于 0 ！

换句话说， CinCni 的偶数项之和 等于 CinCni 的奇数项之和 ！

这里不知道如何解释了，只能说对于 n 为奇数的情况考虑组合数的对称性（即 Cin=Cn−inCni=Cnn−i）

然后对于 n 为偶数的情况考虑 掐头去尾，每个偶数项都对应上一行的两个相邻元素之和，不相交并且取遍了上一行的所有元素，而奇数项同理，于是两者相等

那么这里上一张图你肯定就懂了(自己感受一下)

二项式定理-杨辉三角

考虑一下杨辉三角，也就是说杨辉三角每一行的 偶数列对应的项之和 等于 奇数列对应的项之和 (由上图也可以看出来)

但是别忘了考虑特殊情况，我们刚刚说过 n=0n=0 除外

但其实考虑 n=0 的情况也简单，就是当 n=0n=0 时组合数只有一项且为 1 ，然后我们把原来的式子倒过来表达：

∑i=0n(−1)i Cin=[n==0]=ϵ(n)
∑i=0n(−1)i Cni=[n==0]=ϵ(n)

其实 ϵϵ 就是单位元函数

总结
二项式定理很有趣，但是看着上面的内容貌似没什么用，但等你学到深处就会发现经常会看到它的身影，到那时别忘了再翻开这篇博客，或许你会有新的收获~

Bye~Bye~

这就是本蒟蒻博客的全部内容了，您还可以看看本蒟蒻博客里别的内容，&&喜欢可以推荐哈。