利用FDTD软件仿真拓扑光子（二）-光子晶体结构分析
本系列主要讲解如何利用lumerical公司的FDTD软件仿真拓扑光子绝缘体的能带结构。主要包括以下几方面的内容：
1）前言
2）光子晶体结构分析
3）能带结构仿真与软件设置
4）边缘态仿真与软件设置
5）抗散射仿真与软件设置
6）单向仿真与软件设置
7）其它仿真
光子晶体结构与能带仿真息息相关，在仿真开始前很有必要弄清楚与其相关的基本概念，其中比较重要的是倒格子空间和第一布里渊区，以及不可约布里渊区的特殊点坐标（Gamma,M,K等），该坐标将会在仿真过程中使用。相关概念的定义可以参考固体物理。
1、常用的光子晶体结构
拓扑光子可以使用的不同的光子晶体结构，但文献里使用比较多的是石墨烯型结构（或叫蜂窝型），或者三角晶格结构。下图展示了石墨烯或三角光子晶体结构和第一布里渊区。
本系列的仿真工作基于文献[1]，其采用石墨烯型光子晶体，结构如下图所示。
2、获取特殊点坐标
不可约布里渊区的特殊点坐标（Gamma,M,K等）将会在仿真过程中使用，仿真开始前需要先计算出来。下面以石墨烯型结构举例说明，如何获取特殊点坐标（Gamma,M,K），图中两个相邻原子的距离是d，注意该距离不是晶格的周期。图片引用自知乎。
以此基元为格点作图，容易看出该结构的原胞是菱形，其锐角为60度，每个原胞中含有两个原子，且原胞的格点间距为√3*d（这才是晶格的周期）。
以一基元为坐标原点将菱形放在直角坐标系中，i和j为坐标轴单位方向矢量，k为垂直平面的单位方向矢量。写成菱形原胞基矢的表达式：
最后倒空间的基矢改写一下，得到：
如前文所述，d是相邻原子的距离，而√3*d是光子晶体的周期。2π/(√3*d)可以理解为倒格子空间的单位向量对应的实际长度，FDTD中仿真会用到这个值，而其它结构的光子晶体，这个值有所区别。
最后，石墨烯型结构对应的倒格子空间如下图所示，图中两个点的距离是a*的模长或者b*的模长。于是得到（不可约布里渊区）高对称点的坐标如下，Gamma点（0,0），M点（0,1/(√3)），K点（1/3,1/(√3)），当然还要乘上2π/(√3*d)。
参考文献
[1]HE, Xin-Tao, et al. A silicon-on-insulator slab fortopological valley transport. Nature communications, 2019, 10.1: 872.
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