NP问题，P问题，NPC问题详解—黄宇老师《算法分析》笔记

多项式时间归约

1、优化问题可转换为判定问题，关注同样的结构指标

（1）优化问题：关注特殊结构，优化结构指标

（2）判定问题：不关注指标的最大/小值，关注阙值k

是否存在一个结构，指标与k满足某关系

（3）优化难于判定：优化的解⇒判定的解，判定的解⇏优化的解

很多优化问题在多项式时间内可解 ⇔ 其判定问题在多项式时间内可解

所以，可只关注形式上更便于处理判定问题

2、最大团问题：

①题目描述：无向图G，若子图H为完全图，则H为G的一个团，团的大小为顶点个数

完全图：任意两点有边相连

优化问题

判定问题

输入：无向图G

优化问题：求G中最大团的大小

输入：G与参数k

判定问题：图G中是否存在大小为k的团

最大团的大小a，比较a与k，即可得判定问题的解

②结构：图；优化指标：团的大小

③判定问题在多项式时间内可解 ⇒ 优化问题多项式时间可解

2、问题间难易关系的定义基于问题间的归约

①问题P可归约到Q（P≤Q）：解决P可以间接通过解决Q来实现，是一个转换函数T(x)

（1）P的任意合法输入x，转换成Q的一个合法输入T(x)

（2）假设Q有解决算法，将T(x)输入，得Q的输出

（3）仅在Q对T(x)的输出为YES时，P对x的输出才为YES

②判定问题的解释YES/NO，这为定义两个问题间的归约带来便利

③例子

（1）判定问题：

P1：输入一组布尔值b1,…bn，判定输入值中是否有≥1个为TRUE

P2：输入一组整数值k1,…kn，判定输入值中max是否为正整数

（2）P1到P2归约，T(x)为布尔值→整数，P1输入→P2输入

（3）P2算法输出：TRUE ⇒ P1结果为TRUE

P2输入最大值为正整数(由于T(x)，输入是0/1) ⇒ P2输入有≥1个1 ⇒ P1输入有≥1个TRUE

（4）P2算法输出：FALSE ⇒ P1结果为FALSE

P2输入均不是正整数，均为0 ⇒ P1输入均为FALSE

（5）由此证明了，P2输出一定是P1正确输出，因而T(x)为P1到P2的归约

归约代价限定

3、多项式时间可解，记为P问题

①定义：多项式poly(n)，存在解决此问题的算法，满足

②P问题可“内聚”为一类，因多项式运算封闭性：f(x)与g(y)，加减乘除均是多项式

多项式范围大，均是多项式时间:

O(n)：实用算法

O(10000n^10000)：不可能实用

③问题难易程度是相对概念

（1）多项式时间算法 ⇏ 是高效实用的

（2）算法不是多项式 ⇒ 不高效实用

④一类难问题，尚未知道是否有多项式时间算法，相对于这些P类问题是有意义分类

4、多项式时间归约

①问题间归约关系衡量他们的相对难易程度

（1）需要限定归约代价，不能让归约的代价“干扰”对于解决问题代价的衡量

即T(x)也是一种算法，可对其代价分析，定义多项式的时间归约≤p

（2）若T是问题P到Q的归约，且T的代价为其输入模式的多项式，则称P可以多项式时间归约到Q，记为P≤pQ

②一个难问题，输入转换(O(T(x))代价若是多项式 ⇒ 这一代价对于解决问题的代价而言，是小量

研究难问题之间的难易关系，集中关注多项式时间归约

③问题间的归约是两个问题之间的一种二元关系，刻画之间的难易程度，

即：若P≤pQ，则P的难度≤Q的难度。因：

（1）若已得到解决Q的算法 ⇒ 一个解决P的算法（高效归约的存在，很容易得到）

（2）解决P的算法 ⇏ 解决Q的算法

④多项式时间归约关系是一个传递关系

即对问题P、Q、R，若P≤pQ，Q≤p R，则P≤p R

可以对所有问题按难度不同分类

NP完全问题

期望算法高效，合理期望是：至少是多项式时间的O(nc)

难问题：尚未找到多项式时间的算法，又无法证明多项式时间的算法一定不存在

1、

P问题

在多项式时间内可解决的问题

NP问题

非确定性算法在多项式时间内可解，即该问题的解在多项式时间内可验证：

（1）非确定的任意猜测该问题的一个解

（2）可以在多项式时间内检查这个解是不是该问题的一个解

②例子（最大团）CLIQUE ∈ NP

证明：看其判定问题。

（1）猜测CLIQUE问题的一个解，此解形式为图中的k个顶点

（不满足此形式的解可直接判定它不是一个解）

（2）对任意猜测的解中的k个顶点，验证是否所有点对之间都有边。

若是：验证了猜测的解是CLIQUE问题的一个解

若否：猜测的解不是一个解

（3）猜测过程可以在O(n)的时间内完成

验证过程可以在O(k2)= O(n2)内完成

③猜想，无法证明其成立与否

P类问题是NP类问题的真子集，NP比P大很多

2、NP难问题与NP完全问题

①定义：一个问题P

NP难问题	若 ∀ Q ∈ NP, Q≤p P
NP完全问题	若P ∈ NP，且P是NP难问题

TIPS：

（1）一个NP难问题的难度没有上界，若将讨论的范围限定到NP问题，则得到NP完全问题的概念

（2）NP完全问题是所有NP问题中最难的问题，研究此类问题是研究计算复杂性的基础

②NP问题定义引出了未解问题：P是否等于NP

（1）若任意一个NP完全问题可在多项式时间解决，则所有NP问题均可在多项式时间解决

即P=NP

（2）若证明任意一个NP完全问题不存在多项式时间解，则所有NP完全问题均不可能在多项式时间解决，即P≠NP

3、NP完全性证明的初步知识

①可用定义证明问题的NP完全性，但困难

②根据NP完全性定义的特征：若已知一个问题是NP完全问题，则变简单

即假设已知问题P是NP完全的，要证明问题Q是NP完全的

（1）只需将P在多项式时间内归约到Q

（2）根据NP完全性定义，有 X∈NP，X≤p P，P≤p Q

（3）根据多项式时间归约关系传递性，有 X∈NP，X≤p Q

（4）因而，有Q是NP难的。

（5）若再证明Q∈NP问题，则证明了Q的NP完全性

③上述思路需要有一个“种子”问题，即第一个证明NP完全性的问题，即SAT问题无需证明，作为默认

④NP完全性证明的关键变成了问题间的归约（技巧性强，有难度）

4、一般问题与特例问题

①若一个问题的特例P是NP完全的⇒ 其一般情况P’也是NP完全的

证明：将P多项式时间内归约到P’，这一归约简单，只需给一般问题进行某些具体的设定即可

（将可变参数设定为某个特定的值）

②例子

划分问题 partition（特例）

背包问题knapsack（一般）

输入实例

N个物品，其大小分别为s1，…sn

N个物品，其大小分别为s1，…sn，每个物品的价值为c1，…cn；参数k与C

判定问题

是否可将输入物品划分为两个子集，

使这两个子集中物品大小之和相等

是否可在背包中装若干物品，

使背包中物品大小之和≤C，且价值之和≥k

假设已知partition问题是NP完全的，要证knapsack问题是NP完全的

（1）要构建从partition到knapsack的归约（P≤p K）

（2）knapsack是更一般性问题，只需设定所有物品价值与其大小相等

5）进一步再证明knapsack是NP的 ⇒ 则就证明了knapsack是NP完全问题

5、等价的问题

①两个问题间有某种等价性，很容易得到它们之间的归约性

②例子

独立集：一个点集中任意两点间无边相连，大小为其中节点个数

点覆盖：图G中任意一条边均与顶点集合C中的某个顶点相关联，则C为G的一个点覆盖，大小为点个数

	独立集independent-set	点覆盖vertex-cover
输入实例	无向图G，参数k	无向图G，参数k
判定问题	G中是否存在大小为k的独立集	G中是否存在大小为k的点覆盖