2013-09-17

韦达定理在高中数学的运用？希望有

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

目录

简介

定理证明基本证明

韦达定理推广的证明

一元五次方程验证

例题讲解例1

例2

例3

例4

韦达介绍简介

代数著作

主要贡献

推广

展开简介

定理证明 基本证明

韦达定理推广的证明

一元五次方程验证

例题讲解 例1

例2

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例4

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代数著作

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韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

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展开编辑本段简介 韦达定理

英文名称：Vieta's theorem

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

定理内容：一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系

编辑本段定理证明基本证明

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

(注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0)

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1。

X1+X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1+X2=-b/a

2。X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

(补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2=(-b/a)^2-2c/a=(b^2-2ac)/(a^2))

(扩充)

3。

X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1。X2的值可以互换，所以则有

X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】

所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a

韦达定理推广的证明

设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　(在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)

通过系数对比可得：

A(n-1)=-An(∑xi)

A(n-2)=An(∑xixi)

…

A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

一元五次方程验证

已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

把上式展开成：

-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0

上述方程可化简成：

a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*

(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*

(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0

设化简后的方程为形式3。

最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系:

编辑本段例题讲解例1

已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1+x2=－p，x1x2=q．

于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，

即x1·x2－x1－x2+1=199．

∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199．

注意到(x1－1)、(x2－1)均为整数，

解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．

例2

已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1+x2=12－m，x1x2=m－1．

于是x1x2+x1+x2=11，

即(x1+1)( x2+1)=12．

∵x1、x2为正整数，

解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．

故有m=6或7．

例3

求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．

解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得

∴x1x2－X1－x2=2，

(x1－1)( x2－1)=3．

因为x1－1、x2－1均为整数，

所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0。

所以k=1,或k=-1/7

综上所述 k=0 k=1 k=-1/7

例4

已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． 　(97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β．

由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q．

于是p+q=α+β－αβ，

=－(αβ－α－β+1)+1

=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．。

收起