MGF（矩生成函数）

MGF的定义

矩生成函数(Moment Generating Function,mgf)，又叫矩母函数。
统计学定义为：
M~(s)=E[exp⁡(sX)]=∫−∞+∞exp⁡(sx)fx(x)dx\ \tilde M(s) = E[\exp (sX)] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp (sx)f_x (x)dx} \ M~(s)=E[exp(sX)]=−∞∫+∞exp(sx)fx(x)dx
其中，XXX为连续性随机变量，fx(x)f_x (x)fx(x)为连续性随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)。

MGF的特点

1.一个矩生成函数与一个随机变量的分布一一对应。

通信理论中MGF的应用

定义

M. K. Simon and M.-S. Alouini, Digital Communication Over Fading
Channels. New York: Wiley, 2000.

在通信领域中，常将MGF另行定义，如下：

M(s)=M~(−s)=E[exp⁡(−sX)]=∫−∞+∞exp⁡(−sx)fx(x)dx\ M(s) = \tilde M( - s) = E[\exp ( - sX)] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp (-sx)f_x (x)dx} \ M(s)=M~(−s)=E[exp(−sX)]=−∞∫+∞exp(−sx)fx(x)dx
注意到，该表达式和拉普拉斯变换的表达式相同，如下：
L(s)=∫−∞+∞f(t)exp⁡(−st)dt\ L(s) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t)\exp ( - st)dt} \ L(s)=−∞∫+∞f(t)exp(−st)dt
于是，新定义的MGF和随机变量的概率密度函数是一对拉普拉斯变换对。
在通信领域中，多跳通信系统，独立不同分布的信道特性的理论分析常用到MGF。

性质

随机变量的概率分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF），是概率密度函数的积分。
概率分布函数的MGF与概率密度函数的MGF的关系如下：
MCDF(s)=MPDF(s)s\ M_{CDF} (s) = \frac{{M_{PDF} (s)}}{s} \ MCDF(s)=sMPDF(s)
同理，进行反拉普拉斯变换，就可以得到CDF和PDF。

注意：此性质是完全基于通信领域新定义的MGF（即：符合拉式变换的新定义），得到的结论，如果是最开始的统计学定义的MGF，结果将并不相同，如下：
M~CDF(s)=M~PDF(s)−s\ \tilde M_{CDF} (s) = \frac{{\tilde M_{PDF} (s)}}{{ - s}} \ M~CDF(s)=−sM~PDF(s)
（具体推导过程，使用分布积分即可得到。）

扩展——特征函数

统计学中，特征函数定义为：

Φ(s)=E[exp⁡(sX)]=∫−∞+∞exp⁡(isx)fx(x)dx\ \Phi (s) = E[\exp (sX)] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp (isx)f_x (x)dx} \ Φ(s)=E[exp(sX)]=−∞∫+∞exp(isx)fx(x)dx

特征函数和矩生成函数，本质是一样的。

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