信息学奥赛一本通 1345：【例4-6】香甜的黄油 | 洛谷 P1828 [USACO3.2]香甜的黄油 Sweet Butter
【题目链接】
ybt 1345：【例4-6】香甜的黄油
洛谷 P1828 [USACO3.2]香甜的黄油 Sweet Butter
【题目考点】
1. 图论 最短路径
【解题思路】
将题目叙述转为图论概念，牧场为顶点，牧场间的路线为边。该题一个顶点上有多头牛，这个后面再考虑。
记有V个顶点，E条边，有n头牛，每头牛所在顶点为v1,v2,...vnv_1,v_2,...v_nv1,v2,...vn，d(i,j)d(i,j)d(i,j)为顶点i，j间的最短路径长度。
题目要问的问题是，选择一个顶点c，使得∑i=1nd(vi,c)\sum_{i=1}^nd(v_i,c)∑i=1nd(vi,c)最小。
如果已知每头牛所在顶点到其它任意顶点的最短路径长度，那么接下来就可以遍历所有顶点，记遍历到的顶点为i，选择顶点i为放糖的地方，求所有牛所在顶点到顶点i的最短路径加和，这一步的复杂度为O(V⋅n)O(V\cdot n)O(V⋅n)
问题落在如何求每头牛所在顶点到其它任意顶点的最短路径。
- 使用Floyd算法，求所有顶点间的最短路径长度。题目给定顶点数（牧场数）最大为800，Floyd算法的复杂度为O(V3)O(V^3)O(V3)，8003=5.12∗108800^3=5.12*10^88003=5.12∗108，运算次数在10710^7107以下可以保证不会超时，复杂度达到10810^8108数量级很可能会超时，所以不能用Floyd算法。
如果用单源最短路径算法，需要对每头牛所在顶点跑一次单源最短路径算法。算法整体复杂度为：O(n)O(n)O(n)乘以所用的单源最短路径算法的复杂度。 - 考虑使用朴素Dijkstra算法，整体复杂度为O(n⋅V2)O(n\cdot V^2)O(n⋅V2)，计算500∗8002=3.2∗108500*800^2=3.2*10^8500∗8002=3.2∗108，不可行。
- 使用Dijkstra堆优化算法，整体复杂度为O(n⋅ElogE)O(n\cdot ElogE)O(n⋅ElogE)，题目中边数最多约为1500，计算500∗1500∗log21500≈8.25∗106500*1500*log_21500\approx8.25*10^6500∗1500∗log21500≈8.25∗106，可行。
- 使用SPFA算法，复杂度为O(kE)O(kE)O(kE)，k为每个顶点平均入队次数，在稀疏图中一般小于2，可以认为等于2。用SPFA算法做该问题，整体复杂度为O(n⋅kE)O(n\cdot kE)O(n⋅kE)，计算500∗2∗1500=1.5∗106500*2*1500 = 1.5*10^6500∗2∗1500=1.5∗106，可行。
以上是思考过程，该题做法为：
- 通过Dijkstra堆优化算法或SPFA算法求出每个牛所在顶点到其它所有顶点的最短路径
- 遍历每个顶点v，求每个牛所在顶点到v的最短路径长度乘以那里牛的数量，再加和。求这些加和中的最小值。
【题解代码】
解法1：Dijkstra堆优化算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 805
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Pair
{int v, d;Pair(){}Pair(int a, int b):v(a),d(b){}bool operator < (const Pair &b) const{return b.d < d;}
};
struct Edge
{int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){}
};
int n, p, c;
bool vis[N];
int dis[N][N];//dis[i][j]:i到j的最短路径长度
int place[N];//place[i]:牛i所在的顶点
vector<Edge> edge[N];
void initGraph()
{int f, t, w;cin >> n >> p >> c;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> place[i];for(int i = 1; i <= c; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));}
}
void dijkstra(int v0)
{memset(vis, 0, sizeof(vis));priority_queue<Pair> pq;dis[v0][v0] = 0;pq.push(Pair(v0, 0));while(pq.empty() == false){int u = pq.top().v;pq.pop();if(vis[u])continue;vis[u] = true;for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(vis[v] == false && dis[v0][v] > dis[v0][u] + w){dis[v0][v] = dis[v0][u] + w;pq.push(Pair(v, dis[v0][v]));}}}
}
int main()
{int v0, sum, ans = INF;initGraph();memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));for(int i = 1; i <= n; ++i){v0 = place[i];//起点 if(dis[v0][v0] == INF)//如果该顶点的单源最短路径问题没有求过了 dijkstra(v0);}for(int i = 1; i <= p; ++i){//在顶点i放糖 sum = 0;for(int j = 1; j <= n; ++j)sum += dis[place[j]][i];ans = min(ans, sum);}cout << ans;return 0;
}
解法2：SPFA算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 805
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Pair
{int v, d;Pair(){}Pair(int a, int b):v(a),d(b){}bool operator < (const Pair &b) const{return b.d < d;}
};
struct Edge
{int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){}
};
int n, p, c;
bool vis[N];
int dis[N][N];//dis[i][j]:i到j的最短路径长度
int place[N];//place[i]:牛i所在的顶点
vector<Edge> edge[N];
void initGraph()
{int f, t, w;cin >> n >> p >> c;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> place[i];for(int i = 1; i <= c; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));}
}
void spfa(int v0)
{memset(vis, 0, sizeof(vis));queue<int> que;dis[v0][v0] = 0;que.push(v0);vis[v0] = true;while(que.empty() == false){int u = que.front();que.pop();vis[u] = false;for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(dis[v0][v] > dis[v0][u] + w){dis[v0][v] = dis[v0][u] + w;if(vis[v] == false){que.push(v);vis[v] = true;}}}}
}
int main()
{int v0, sum, ans = INF;initGraph();memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));for(int i = 1; i <= n; ++i){v0 = place[i];//起点 if(dis[v0][v0] == INF)//如果该顶点的单源最短路径问题没有求过了 spfa(v0);}for(int i = 1; i <= p; ++i){//在顶点i放糖 sum = 0;for(int j = 1; j <= n; ++j)sum += dis[place[j]][i];ans = min(ans, sum);}cout << ans;return 0;
}
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