介绍

当实现一个神经网络的时候，我们需要知道一些非常重要的技术和技巧。例如有一个包含mmm个样本的训练集，你很可能习惯于用一个for循环来遍历训练集中的每个样本，但是当实现一个神经网络的时候，我们通常不直接使用for循环来遍历整个训练集，所以在这周的课程中你将学会如何处理训练集。
另外在神经网络的计算中，通常先有一个叫做前向暂停(forward pause)或叫做前向传播(foward propagation)的步骤，接着有一个叫做反向暂停(backward pause) 或叫做反向传播(backward propagation)的步骤。

案例

逻辑回归(logistic regression)是一个用于二分类(binary classification)的算法。首先我们从一个问题开始说起，这里有一个二分类问题的例子，假如你有一张图片作为输入，比如这只猫，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果；如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果。现在我们可以用字母yyy来表示输出的结果标签，如下图所示：

我们来看看一张图片在计算机中是如何表示的，为了保存一张图片，需要保存三个矩阵，它们分别对应图片中的红、绿、蓝三种颜色通道，如果你的图片大小为64x64像素，那么你就有三个规模为64x64的矩阵，分别对应图片中红、绿、蓝三种像素的强度值。为了便于表示，这里我画了三个很小的矩阵，注意它们的规模为5x4而不是64x64，如下图所示：
为了把这些像素值放到一个特征向量中，我们需要把这些像素值提取出来，然后放入一个特征向量xxx。为了把这些像素值转换为特征向量xxx，我们需要像下面这样定义一个特征向量 xxx来表示这张图片，我们把所有的像素都取出来，例如255、231等等，直到取完所有的红色像素，接着最后是255、134、…、255、134等等，直到得到一个特征向量，把图片中所有的红、绿、蓝像素值都列出来。

如果图片的大小为64x64像素，那么向量xxx的总维度，将是64乘以64乘以3，这是三个像素矩阵中像素的总量。在这个例子中结果为12288。
现在我们用nx=12288n_x=12288nx=12288，来表示输入特征向量的维度，有时候为了简洁，我会直接用小写的nnn来表示输入特征向量的维度。所以在二分类问题中，我们的目标就是习得一个分类器，它以图片的特征向量作为输入，然后预测输出结果为1还是0，也就是预测图片中是否有猫。

符号定义

xxx 表示一个nxn_xnx维数据，为输入数据，维度为(nx,1)(n_x,1)(nx,1)；
yyy表示输出结果，取值为(0,1)(0,1)(0,1)；
(x(i),y(i))(x^{(i)},y^{(i)})(x(i),y(i))：表示第iii组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据；
X=[x(1),x(2),...,x(m)]X=[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]X=[x(1),x(2),...,x(m)] 表示所有的训练数据集的输入值，放在一个nx×mn_x\times mnx×m的矩阵中，其中mmm表示样本数目;
Y=[y(1),y(2),...,y(m)]Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]Y=[y(1),y(2),...,y(m)]对应表示所有训练数据集的输出值，维度为1×m1\times m1×m。
用一对(x,y)(x,y)(x,y)来表示一个单独的样本，xxx代表xnx_nxn维的特征向量， yyy表示标签(输出结果)只能为0或1。而训练集将由mmm个训练样本组成，其中(x(1),y(1))(x^{(1)},y^{(1)})(x(1),y(1))表示第一个样本的输入和输出，(x(2),y(2))(x^{(2)},y^{(2)})(x(2),y(2))表示第二个样本的输入和输出，直到最后一个样本(x(m),y(m))(x^{(m)},y^{(m)})(x(m),y(m))，然后所有的这些一起表示整个训练集。有时候为了强调这是训练样本的个数，会写作MtestM_{test}Mtest，当涉及到测试集的时候，我们会使用MtestM_{test}Mtest来表示测试集的样本数，所以这是测试集的样本数:

最后为了能把训练集表示得更紧凑一点，我们会定义一个矩阵用大写的XXX表示，它由输入向量x(1)x^{(1)}x(1)、x(2)x^{(2)}x(2)等组成，如下图放在矩阵的列中，所以现在我们把x(1)x^{(1)}x(1)作为第一列放在矩阵中，x(2)x^{(2)}x(2)作为第二列，x(m)x^{(m)}x(m)放到第列mmm，然后我们就得到了训练集矩阵XXX。所以这个矩阵有mmm列，mmm是训练集的样本数量，然后这个矩阵的高度记为nxn_xnx，注意有时候可能因为其他某些原因，矩阵XXX会由训练样本按照行堆叠起来而不是列，如下图所示：x(1)x^{(1)}x(1)的转置直到x(m)x^{(m)}x(m)的转置，但是在实现神经网络的时候，使用左边的这种形式，会让整个实现的过程变得更加简单。

现在来简单温习一下:XXX是一个规模为nxn_xnx乘以mmm的矩阵，当你用Python实现的时候，你会看到X.shape，这是一条Python命令，用于显示矩阵的规模，即X.shape等于(nx,m)(n_x,m)(nx,m)，XXX是一个规模为nxn_xnx乘以mmm的矩阵。所以综上所述，这就是如何将训练样本（输入向量XXX的集合）表示为一个矩阵。
那么输出标签yyy呢？同样的道理，为了能更加容易地实现一个神经网络，将标签yyy放在列中将会使得后续计算非常方便，所以我们定义大写YYY的等于y(1),y(2),...,y(m)y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}y(1),y(2),...,y(m)，所以在这里是一个规模为1乘以mmm的矩阵，同样地使用Python将表示为Y.shape等于(1,m)(1,m)(1,m)，表示这是一个规模为1乘以mmm的矩阵。

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