格雷码应用意义及编解码

文章目录

1. 格雷码的应用意义
2. 由自然数编码获得格雷码
- 2.1 对称法实现
- 2.2 公式法实现
3. 由格雷码解码获得自然数

1. 格雷码的应用意义

学过晶体管知识的朋友们都知道，数据位跳变就相当于硬件电路中的晶体管翻转。许多位同时跳变就相当于多个晶体管同时翻转，会导致电路中出现很大的尖峰电流脉冲，从而导致数据不稳定。

在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code），另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用 8421 8421 8421码，则数 0111 0111 0111变到 1000 1000 1000时四位均要变化，而在实际电路中， 4 4 4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（ 1100 1100 1100、 1111 1111 1111等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。格雷码有多种编码形式。

其重要特征是一个数变为相邻的另一个数时，只有一个数据位发生跳变，由于这种特点，就可以避免电路中出现亚稳态而导致数据错误。简而言之，格雷码的一位改变特征减小了电路出错概率，实际很多场合也用到了格雷码。

四位格雷码如下图所示：

更多内容，可见百度百科「格雷码」。

2. 由自然数编码获得格雷码

leetCode当中关于格雷码的生成有：89. 格雷编码、1238. 循环码排列

2.1 对称法实现

当是 0 0 0位格雷码时，格雷码序列即为 [ 0 ] [0] [0]。

如果我们获取了 n − 1 n-1 n−1位格雷码序列，并记为 G n − 1 G_{n-1} Gn−1，可以使用它构造获得 n n n位格雷码序列 G n G_n Gn。具体方法如下：

将 G n − 1 G_{n-1} Gn−1复制一份并进行反转，记为 G n − 1 T G_{n-1}^T Gn−1T；
将 G n − 1 T G_{n-1}^T Gn−1T中每个元素的第 n − 1 n-1 n−1个二进制位均从 0 0 0变为 1 1 1，得到 ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′。这里最低的二进制位为第 0 0 0个二进制位；
将 G n − 1 G_{n-1} Gn−1和 ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′进行拼接，得到 G n G_n Gn。

证明如下：

由于 G n − 1 G_{n-1} Gn−1是 [ 0 , 2 ( − 1 ) [0, 2^{(-1}) [0,2(−1)的排列，那么其中每个元素的第 n − 1 n-1 n−1个二进制位都是 0 0 0。进而， ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′是 [ 2 n − 1 , 2 n ) [2^{n-1}, 2^{n}) [2n−1,2n)的排列，所以 G n = G n − 1 + ( G n − 1 T ) ′ G_n=G_{n-1}+(G_{n-1}^T)' Gn=Gn−1+(Gn−1T)′就是 [ 0 , 2 n ) [0,2^n) [0,2n)的排列；
对于 G n − 1 G_{n-1} Gn−1和 ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′的内部，每对相邻整数的二进制恰好有一位不同。对于 G n − 1 G_{n-1} Gn−1最后一个数和 ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′第一个数，它们只有第 n − 1 n-1 n−1个二进制位不同。对于 G n − 1 G_{n-1} Gn−1第一个数和 ( G n − 1 T ) ′ (G_{n-1}^T)' (Gn−1T)′最后一个数，它们也仅有第 n − 1 n-1 n−1个二进制位不同。

因此， G n G_n Gn就是满足要求的 n n n位格雷码序列。对应的cpp代码为：

class Solution {public:vector<int> grayCode(int n) {vector<int> ans;ans.push_back(0);for (int i = 1; i <=n; ++i) {int t = ans.size();for (int j = t-1; j >= 0; --j) {//ans.push_back(ans[j] + (1 << (i-1)));//这里+，|运算等效，因为0|A=A，且这里是按位或ans.push_back(ans[j] | (1 << (i-1)));}}return ans;}
};

2.2 公式法实现

也可以由公式直接求出，第 i ( i ≥ 0 ) i(i\ge0) i(i≥0)个格雷码为： g i = i ⊕ ⌊ i 2 ⌋ g_i=i\oplus\lfloor\frac{i}{2}\rfloor gi=i⊕⌊2i⌋

其中 ⊕ \oplus ⊕表示按位异或运算，正确性证明如下：

当 i i i为偶数时， i i i和 i + 1 i+1 i+1只有最低的一个二进制位不同，而 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\frac{i}{2}\rfloor ⌊2i⌋和 ⌊ i + 1 2 ⌋ \lfloor\frac{i+1}{2}\rfloor ⌊2i+1⌋相等，进而异或之后 g i g_i gi和 g i + 1 g_{i+1} gi+1也只有最低的一个二进制位不同；
当 i i i为奇数时，我们记 i i i的二进制表示为 ( ⋯ 01 ⋯ 11 ) 2 (⋯01⋯11)_2 (⋯01⋯11)2， i + 1 i+1 i+1 的二进制表示为 ( ⋯ 10 ⋯ 00 ) 2 (⋯10⋯00)_2 (⋯10⋯00)2，即：
- i i i和 i + 1 i+1 i+1的二进制表示的若干个最高位是相同的；
- i i i和 i + 1 i+1 i+1的二进制表示的从高到低的第一个不同的二进制位， i i i中的二进制为 0 0 0， i + 1 i+1 i+1中的二进制位则为 1 1 1，在此之后， i i i中的二进制均为 0 0 0， i + 1 i+1 i+1中的二进制位均为 1 1 1；
- 那么 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\frac{i}{2}\rfloor ⌊2i⌋和 ⌊ i + 1 2 ⌋ \lfloor\frac{i+1}{2}\rfloor ⌊2i+1⌋的二进制表示分别为 ( ⋯ 01 ⋯ 1 ) 2 (⋯01⋯1)_2 (⋯01⋯1)2和 ( ⋯ 10 ⋯ 0 ) 2 (⋯10⋯0)_2 (⋯10⋯0)2，进而有： g i = ( ⋯ 01 ⋯ 11 ) 2 ⊕ ( ⋯ 10 ⋯ 0 ) 2 = ( ⋯ 010 ⋯ 0 ) 2 g_i=(⋯01⋯11)_2\oplus(⋯10⋯0)_2=(⋯010⋯0)_2 gi=(⋯01⋯11)2⊕(⋯10⋯0)2=(⋯010⋯0)2，以及： g i + 1 = ( ⋯ 10 ⋯ 00 ) 2 ⊕ ( ⋯ 10 ⋯ 0 ) 2 = ( ⋯ 110 ⋯ 0 ) 2 g_{i+1}=(⋯10⋯00)_2\oplus(⋯10⋯0)_2=(⋯110⋯0)_2 gi+1=(⋯10⋯00)2⊕(⋯10⋯0)2=(⋯110⋯0)2，也只有一个二进制位不同。
- 注意到，当我们在表示 i + 1 i+1 i+1时，使用的的是 ( ⋯ 10 ⋯ 00 ) 2 (⋯10⋯00)_2 (⋯10⋯00)2 ，默认了其二进制表示的低位至少有两个 0 0 0。事实上，当 i + 1 i+1 i+1 是 2 2 2的倍数而不是 4 4 4的倍数时，结论相同。

class Solution {public:vector<int> grayCode(int n) {vector<int> ret(1 << n);for (int i = 0; i < ret.size(); ++i) ret[i] = (i >> 1) ^ i;return ret;}
};

也即二进制到格雷码转换的固定规律为：

格雷码中的最高有效位（最左边）等同于二进制数中相应的最高有效位;
从左到右，加上每一对相邻的二进制编码位，从而得到下一个格雷码位，舍去进位。

3. 由格雷码解码获得自然数

格雷码到二进制转换的固定规律为：

二进制码的最高有效位（最左边）等同于格雷码中相应的最高有效位。
将所产生的每个二进制码位加下一个相邻位置的格雷码位，从而得到下一个二进制位。舍去进位。

/*解码模板 */
#include<math.h>      // log对数函数需要用到的头文件
#include <iostream>
using namespace std;int gray_decode(int num) {int head;if (!num) return 0;head = 1 << int(log(num) / log(2));    //C++没有直接以2为底的对数，我们创造一个以2为底的对数return head + gray_decode((num^head) ^ (head>>1));
}