0 补充公式

x>0时，有如下常用放缩式：

x>sin⁡xx>ln⁡(1+x)>x1+x\begin{aligned} & x>\sin x \\ & x>\ln (1+x)>\frac{x}{1+x} \\ \end{aligned} x>sinxx>ln(1+x)>1+xx

常用不等式：

a2+b2≥2ab,a+b≥2ab,1+x2>2∣x∣a1+a2+⋯+ann≥a1a2⋯ann∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣[x]≤x≤[x+1],[⋅]为取整函数a>0,b>0,有：max⁡{a,b}≥a+b2≥ab≥21a+1b≥min⁡{a,b}\begin{aligned} &a^2+b^2 \geq2ab, \quad a+b \geq 2\sqrt{ab}, \quad 1+x^2>2|x| \\ &\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \\ &|a|-|b| \leq |a \pm b| \leq |a|+|b| \\ &[x]\leq x \leq [x+1], \quad [\cdot]为取整函数\\ &a>0,b>0,有：\max\{a,b\} \geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} \geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \geq\min\{a,b\}\\ \end{aligned} a2+b2≥2ab,a+b≥2ab,1+x2>2∣x∣na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣[x]≤x≤[x+1],[⋅]为取整函数a>0,b>0,有：max{a,b}≥2a+b≥ab≥a1+b12≥min{a,b}

常用“立方和”等式：

$$
\begin{aligned}
& a^n-bn=(a-b)(a^{n-1}b0+a^{n-3}b{1}+a^{n-3}b{2}+\cdots+a^{0}b{n-1}) \
&1-a^k=(1-a)(1+a1+a^2+\cdots a^k)\
&a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab +b^2)\
\

\end{aligned}
$$

常用“和的立方”等式，和与其相近的“积的高阶导数”等式：

(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an−1b1+⋯+Cnna0bn(ab)(n)=Cn0a(n)b(0)+Cn1a(n−1)b(1)+⋯+Cnna(0)b(n)Cnm=m!n!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)n!\begin{aligned} &(a+b)^n=\text{C}_n^0a^nb^0+\text{C}_n^1a^{n-1}b^1 +\cdots +\text{C}_n^na^0b^n \\ &(ab)^{(n)}=\text{C}_n^0a^{(n)}b^{(0)}+\text{C}_n^1a^{(n-1)}b^{(1)} +\cdots +\text{C}_n^na^{(0)}b^{(n)} \\ & \text{C}_n^m=\frac{m!}{n!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{n!} \end{aligned} (a+b)n=Cn0anb0+Cn1an−1b1+⋯+Cnna0bn(ab)(n)=Cn0a(n)b(0)+Cn1a(n−1)b(1)+⋯+Cnna(0)b(n)Cnm=n!(n−m)!m!=n!n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)

常用和式：

12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)13+23+33+⋯+n3=[12n(n+1)]21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+⋯+n(n+1)(n+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)\begin{aligned} &1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{1}{2}n(n+1)]^2\\ &1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ &1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \end{aligned} 12+22+32+⋯+n2=61n(n+1)(2n+1)13+23+33+⋯+n3=[21n(n+1)]21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=31n(n+1)(n+2)1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+⋯+n(n+1)(n+2)=41n(n+1)(n+2)(n+3)

倍角公式：

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α,cot⁡2α=1−cot⁡2α2cot⁡α\begin{aligned} &\sin 2 \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha \\ &\cos 2 \alpha=\cos^2 \alpha - \sin ^2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1\\ &\tan 2 \alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}, \quad \cot 2 \alpha=\frac{1-\cot^2 \alpha}{2\cot \alpha}\\ \end{aligned} sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1tan2α=1−tan2α2tanα,cot2α=2cotα1−cot2α

降幂生角公式：

$$
\begin{aligned}
&\sin^2 \alpha = \frac{1- \cos 2 \alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos 2 \alpha}{2}

\end{aligned}
$$

1的吸收：

1+sin⁡x=(sin⁡x2+cos⁡x2)21+\sin x=(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^2 1+sinx=(sin2x+cos2x)2

这种可处理∫1+sin⁡xdx\int\sqrt{1+\sin x}dx∫1+sinxdx的积分

切弦转换式：

1+tan⁡2α=sec⁡2α,1+cot⁡2α=csc⁡2α\begin{aligned} & 1+\tan^2 \alpha=\sec^2 \alpha, \quad 1+\cot^2 \alpha=\csc^2 \alpha\\ &\\ \end{aligned} 1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α

反三角函数公式：

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2,arctan⁡x+arccot x=π2arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x,arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\begin{aligned} &\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}, \quad \arctan x+\text{arccot }x=\frac{\pi}{2}\\ &\arcsin(-x)=-\arcsin x, \quad \arccos(-x)=\pi-\arccos x\\ \end{aligned} arcsinx+arccosx=2π,arctanx+arccot x=2πarcsin(−x)=−arcsinx,arccos(−x)=π−arccosx

奇变偶不变，符号看象限解释：

该方法用于判断α±kπ2\alpha \pm k\frac{\pi}{2}α±k2π的三角函数值
奇变偶不变：若k为奇数，三角函数名改变(sin转cos，cos转sin)；若k为偶数，三角函数名不变
符号看象限：设α\alphaα为第一象限，看α±kπ2\alpha \pm k\frac{\pi}{2}α±k2π位于第几象限，以该项先的三角函数正负赋值

诱导公式：

sin⁡(−α)=−sin⁡α,cos⁡(−α)=cos⁡α,tan⁡(−α)=−tan⁡αsin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡α,tan⁡(π−α)=−tan⁡αsin⁡(π+α)=−sin⁡α,cos⁡(π+α)=−cos⁡α,tan⁡(π−α)=tan⁡αsin⁡(α±π)=−sin⁡α,cos⁡(α±π)=−cos⁡α,tan⁡(α±π)=tan⁡αsin⁡(α±π2)=±cos⁡α,cos⁡(α±π2)=∓sin⁡α,tan⁡(α±π2)=−tan⁡α\begin{aligned} &\sin (- \alpha)=-\sin\alpha, {\kern 20pt} \boldsymbol{\cos (- \alpha)=\cos\alpha}, {\kern 20pt} \tan (- \alpha)=-\tan\alpha\\ &\boldsymbol{\sin{(\pi-\alpha)}=\sin \alpha}, \quad \cos{(\pi-\alpha)}=-\cos \alpha, \quad \tan{(\pi-\alpha)}=-\tan \alpha\\ &\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin \alpha, \quad \cos{(\pi+\alpha)}=-\cos \alpha, \quad \boldsymbol{\tan{(\pi-\alpha)}=\tan \alpha}\\ &\sin {(\alpha \pm \pi)}=-\sin \alpha, \quad \cos {(\alpha \pm \pi)}=-\cos \alpha, \quad \boldsymbol{\tan {(\alpha \pm \pi)}=\tan \alpha}\\ &\sin{(\alpha \pm \frac{\pi}{2})}=\pm \cos \alpha, \quad \cos{(\alpha \pm \frac{\pi}{2})}=\mp \sin \alpha, \quad \tan{(\alpha \pm \frac{\pi}{2})}=-\tan \alpha\\ \end{aligned} sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanαsin(π−α)=sinα,cos(π−α)=−cosα,tan(π−α)=−tanαsin(π+α)=−sinα,cos(π+α)=−cosα,tan(π−α)=tanαsin(α±π)=−sinα,cos(α±π)=−cosα,tan(α±π)=tanαsin(α±2π)=±cosα,cos(α±2π)=∓sinα,tan(α±2π)=−tanα

和差化积公式（帅：sinx；哥：cos）：

帅+帅=帅哥,sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2帅−帅=哥帅,sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2哥+哥=哥哥,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2哥−哥=负嫂嫂,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\begin{aligned} & 帅+帅=帅哥, \quad \sin \alpha+\sin \beta=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\quad\\ & 帅-帅=哥帅, \quad \sin \alpha-\sin \beta=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\quad\\ & 哥+哥=哥哥, \quad \cos \alpha+\cos \beta=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\quad\\ & 哥-哥=负嫂嫂, \cos \alpha-\cos \beta=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\quad\\ \end{aligned} 帅+帅=帅哥,sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β帅−帅=哥帅,sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β哥+哥=哥哥,cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β哥−哥=负嫂嫂,cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

积化和差公式：

帅哥=帅+帅,sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]哥帅=帅−帅,cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]哥哥=哥+哥,cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]嫂嫂=负(哥−哥),sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\begin{aligned} 帅哥=帅+帅, \quad &\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin {(\alpha+\beta)}+\sin {(\alpha-\beta)}]\\ 哥帅=帅-帅, \quad &\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin {(\alpha+\beta)}-\sin {(\alpha-\beta)}]\\ 哥哥=哥+哥, \quad &\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos {(\alpha+\beta)}+\cos {(\alpha-\beta)}]\\ 嫂嫂=负(哥-哥), \quad &\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos {(\alpha+\beta)}-\cos {(\alpha-\beta)}]\\ \end{aligned} 帅哥=帅+帅,哥帅=帅−帅,哥哥=哥+哥,嫂嫂=负(哥−哥),sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]

圆锥公式（lll为母线，RRR为底面半径，HHH为底面高）：

V锥=13πR2HS锥侧面=πR(l+R)锥方程：z2=x2+y2\begin{aligned} V_锥=&\frac{1}{3}\pi R^2H\\ S_{锥侧面}=&\pi R(l+R)\\ 锥方程：&z^2=x^2+y^2\\ \end{aligned} V锥=S锥侧面=锥方程：31πR2HπR(l+R)z2=x2+y2

三棱锥体积公式为1/3底面积高，这一点实际上和圆锥公式一样

特别地，若a,b,ca,b,ca,b,c为平面与坐标轴相交截距，则平面与坐标轴形成的三棱锥体积为：V三棱锥=16abcV_{三棱锥}=\frac{1}{6}abcV三棱锥=61abc

椭球体积公式：V=43πabcV=\frac{4}{3}\pi abcV=34πabc；

椭球表面积公式：S=43π(ab+ac+bc)S=\frac{4}{3}\pi(ab+ac+bc)S=34π(ab+ac+bc)

注意当a=b=ca=b=ca=b=c时，则退化为球的体积43πr3\frac{4}{3}\pi r^334πr3与表面积公式4πr24\pi r^24πr2

万能公式：

令u=tan⁡x2u=\tan \frac{x}{2}u=tan2x：

sin⁡x=2u1+u2,cos⁡x=1−u21+u2,dx=21+u2dx\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\quad\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}dx sinx=1+u22u,cosx=1+u21−u2,dx=1+u22dx

1 函数极限与连续

常用级数展开：

ex=1+x+x22!+⋯=∑n=0∞xnn!sin⁡x=x−x33!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!cos⁡x=1−x22!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!ln⁡(1+x)=x−x22!+⋯=∑n=0∞(−1)nxn+1(n+1)!,x∈(−1,1]11−x=1+x+x2+⋯=∑n=0∞xn,∣x∣<111+x=1−x+x2+⋯=∑n=0∞(−x)n,∣x∣<1\begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{n!}\\ &\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ &\ln {(1+x)}=x-\frac{x^2}{2!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}, \quad x \in(-1,1]\\ &\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n, \quad |x|<1\\ &\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n, \quad |x|<1\\ \end{aligned} ex=1+x+2!x2+⋯=n=0∑∞n!xnsinx=x−3!x3+⋯=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1cosx=1−2!x2+⋯=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2nln(1+x)=x−2!x2+⋯=n=0∑∞(−1)n(n+1)!xn+1,x∈(−1,1]1−x1=1+x+x2+⋯=n=0∑∞xn,∣x∣<11+x1=1−x+x2+⋯=n=0∑∞(−x)n,∣x∣<1

2 数列极限

3 一元函数微分学的概念

某一点的两种求导的定义式：

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\begin{aligned} f'(x_0)&=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned} f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

任意点的求导式：

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)

隐函数存在定理：

若F(x,y)满足{F在P0邻域内连续F∣P0=0F在D内存在偏导Fy′连续Fy′∣P0≠0⇒F在P0邻域内有唯一隐函数y=y(x)(若Fx′满足左边条件，有隐函x=x(y))若F(x,y)满足 \begin{cases} &F在P_0邻域内连续\\ &F|_{P_0}=0\\ &F在D内存在偏导F_y'连续\\ &F_y'|_{P_0} \neq0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{aligned} &F在P_0邻域内有唯一隐函数y=y(x)\\ &(若F'_x满足左边条件，有隐函x=x(y))\\ \end{aligned} 若F(x,y)满足⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧F在P0邻域内连续F∣P0=0F在D内存在偏导Fy′连续Fy′∣P0=0⇒F在P0邻域内有唯一隐函数y=y(x)(若Fx′满足左边条件，有隐函x=x(y))

反函数等价条件：

反函数存在⇔定义域与值域一一映射反函数存在\Leftrightarrow定义域与值域一一映射反函数存在⇔定义域与值域一一映射

反函数性质：

F−1(f(y))=yF^{-1}(f(y))=y F−1(f(y))=y

4 一元微分学的计算

常用求导式：

(tan⁡x)′=sec⁡2x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x,(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x,(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(arcsin⁡x)′=11−x2,(arccos⁡x)′=−11−x2,(arctan⁡x)′=11+x2,(arccotx)′=−11+x2\begin{aligned} & (\tan x)'=\sec^2 x, \quad (\cot x)'=-\csc^2 x, \quad (\sec x)'=\sec x \tan x, \quad (\csc x)'=-\csc x \cot x\\ &(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}, \quad (\text{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{aligned} (tanx)′=sec2x,(cotx)′=−csc2x,(secx)′=secxtanx,(cscx)′=−cscxcotx(arcsinx)′=1−x21,(arccosx)′=−1−x21,(arctanx)′=1+x21,(arccotx)′=−1+x21

高维导数：

(ax)(n)=ax(ln⁡a)nsin⁡(n)kx=knsin⁡(kx+nπ2)cos⁡(n)kx=kncos⁡(kx+nπ2)(xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n(ln⁡x)(n)=(−1)n−1(n−1)!xn\begin{aligned} &(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n\\ &\sin^{(n)}kx=k^n\sin{(kx+n\frac{\pi}{2})}\\ &\cos^{(n)}kx=k^n\cos{(kx+n\frac{\pi}{2})}\\ &(x^m)^{(n)}=m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}\\ &(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\\ \end{aligned} (ax)(n)=ax(lna)nsin(n)kx=knsin(kx+n2π)cos(n)kx=kncos(kx+n2π)(xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n(lnx)(n)=(−1)n−1xn(n−1)!

特别的(xm)(m)=m!(x^m)^{(m)}=m!(xm)(m)=m!

两种形式的，展开到n项的拉格朗日余项的泰勒展开式：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ζ)(n+1)!(x−x0)n+1,ζ在x与x0之间f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f′′(x)2!h2+⋯+f(n)(x)n!hn+f(n+1)(ζ)(n+1)!hn+1,ζ∈(x,x+h)\begin{aligned} f(x)=&f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\ &+\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \quad \zeta在x与x_0之间\\ f(x+h)=&f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n \\ &+\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}h^{n+1},\quad \zeta \in (x,x+h) \end{aligned} f(x)=f(x+h)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+(n+1)!f(n+1)(ζ)(x−x0)n+1,ζ在x与x0之间f(x)+f′(x)h+2!f′′(x)h2+⋯+n!f(n)(x)hn+(n+1)!f(n+1)(ζ)hn+1,ζ∈(x,x+h)

对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的反函数x=ψ(x)x= \psi(x)x=ψ(x)，有：

xy′=1yx′xyy′′=−yxx′′(yx′)3\begin{aligned} &x_y'=\frac{1}{y_x'}\\ &x_{yy}''=-\frac{y_{xx}''}{(y'_x)^3}\\ \end{aligned} xy′=yx′1xyy′′=−(yx′)3yxx′′

注意代入具体数值时，这里代的是yyy值而不是xxx值

参数方程{x=x(t)y=y(t)\begin{cases} &x=x(t)\\ &y=y(t)\\ \end{cases}{x=x(t)y=y(t)的求导满足：

dydx=yt′xt′d2ydx2=ytt′′xt′−yt′xtt′′(xt′)3\begin{aligned} &\frac{dy}{dx}=\frac{y'_t}{x_t'}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y_{tt}''x_t'-y_t'x_{tt}''}{(x_t')^3}\\ \end{aligned} dxdy=xt′yt′dx2d2y=(xt′)3ytt′′xt′−yt′xtt′′

同时，如果是知道x=x(t)x=x(t)x=x(t)，要用yt′,ytt′y'_{t},y'_{tt}yt′,ytt′代替yx′,yxx′y'_{x},y'_{xx}yx′,yxx′构造微分方程，同样用上面的式子。

注意代入具体数值时，代入的是ttt值而不是xxx值

曲率：

k=∣yxx′′∣[1+(yx′)2]32k=\frac{|y_{xx}''|}{[1+(y_x')^2]^\frac{3}{2}} k=[1+(yx′)2]23∣yxx′′∣

曲率半径为R=1kR=\frac{1}{k}R=k1

5 一元函数微分学的应用（一）——几何应用

6 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式

7 一元函数微分学的应用（一）——物理应用与经济应用

物理微元：

{抽水做功→dW=ρgxA(x)dx静水压力→dP=ρghds=ρgx[f(x)−g(x)]dx\begin{cases} &抽水做功\rightarrow dW=\rho gxA(x)dx\\ &静水压力 \rightarrow dP=\rho ghds=\rho gx[f(x)-g(x)]dx\\ \end{cases} {抽水做功→dW=ρgxA(x)dx静水压力→dP=ρghds=ρgx[f(x)−g(x)]dx

8 一元函数积分学的概念与性质

常用反常积分尺度：

{∫011xpdt{0<p<1,收P≥1,发∫1∞1xpdt{p>1,收0<P≤1,发\begin{cases} &\int_0^1\frac{1}{x^p}dt \begin{cases} 0<p<1,\quad &收\\ P \geq1,\quad &发\\ \end{cases} \\ &\int_1^\infty\frac{1}{x^p}dt \begin{cases} p>1,\quad &收\\ 0<P \leq1,\quad &发\\ \end{cases} \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∫01xp1dt{0<p<1,P≥1,收发∫1∞xp1dt{p>1,0<P≤1,收发

9 一元函数积分学的计算

常用不定积分式：

∫1sin⁡xdx=∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫1cos⁡xdx=∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫1sin⁡2xdx=∫csc⁡2x=−cot⁡x+C∫1cos⁡2xdx=∫sec⁡2x=tan⁡x+C∫1a2+x2=1aarctan⁡x+C∫1a2−x2=12aln⁡∣a+xa−x∣+C∫1x2±a2dx=ln⁡∣x+x2±a2∣+C∫1a2−x2=arcsin⁡xa+C\begin{aligned} &\int\frac{1}{\sin x}dx=\int\csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C\\ &\int\frac{1}{\cos x}dx=\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C\\ &\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=\int \csc^2 x=-\cot x+C\\ &\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\int \sec^2 x=\tan x+C\\ \\ &\int \frac{1}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan x +C\\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}| +C\\ &\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2 \pm a^2}|+C\\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\\ \end{aligned} ∫sinx1dx=∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C∫cosx1dx=∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫sin2x1dx=∫csc2x=−cotx+C∫cos2x1dx=∫sec2x=tanx+C∫a2+x21=a1arctanx+C∫a2−x21=2a1ln∣a−xa+x∣+C∫x2±a21dx=ln∣x+x2±a2∣+C∫a2−x21=arcsinax+C

常用的定积分式子：

Γ(n+1)=∫0+∞xne−xdx=n!∫0+∞e−t2dt=π2∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx=12∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx=∫0a+b2[f(x)+f(a+b−x)]dx令x−a+b2=b−a2sin⁡t⇒∫abf(x)dx=∫π2π2f(a+b2+b−a2sin⁡t)b−a2cos⁡tdt令x−a=(b−t)⇒∫01(b−a)f[a+(b−a)t]dt∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx={n−1n⋅n−3n−2⋯23⋅1,n为大于1的奇数n−1n⋅n−3n−2⋯12⋅π2,n为正偶数∫0πsin⁡nxdx=2∫0π2sin⁡nxdx∫0πcos⁡nxdx={0，n为正奇数2∫0π2cos⁡nxdx,n为正偶数∫02πsin⁡nxdx=∫02πcos⁡nxdx={0，n为正奇数4∫0π2cos⁡nxdx,n为正偶数\begin{aligned} &\Gamma(n+1)=\int_0^{+\infty} x^ne^{-x}dx=n!\\ &\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ &\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\\ &{\kern 47pt}=\frac{1}{2}\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ &{\kern 47pt} =\int_0^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ &令x-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}\sin t \Rightarrow \int_a^bf(x)dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)\frac{b-a}{2}\cos tdt\\ &令x-a=(b-t) \Rightarrow\int_0^1(b-a)f[a+(b-a)t]dt\\ &\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\begin{cases} &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3} \cdot 1, \quad n为大于1的奇数 \\ &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, \quad n为正偶数\\ \end{cases}\\ &\int_0^\pi\sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx \\ &\int_0^\pi\cos^nxdx=\begin{cases} &0，{\kern 57pt} n为正奇数\\ &2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx, \quad n为正偶数\\ \end{cases} \\ &\int_0^{2\pi}\sin^nxdx=\int_0^{2\pi}\cos^nxdx=\begin{cases} &0，{\kern 57pt} n为正奇数\\ &4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx, \quad n为正偶数\\ \end{cases} \end{aligned} Γ(n+1)=∫0+∞xne−xdx=n!∫0+∞e−t2dt=2π∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx=21∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx=∫02a+b[f(x)+f(a+b−x)]dx令x−2a+b=2b−asint⇒∫abf(x)dx=∫2π2πf(2a+b+2b−asint)2b−acostdt令x−a=(b−t)⇒∫01(b−a)f[a+(b−a)t]dt∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={nn−1⋅n−2n−3⋯32⋅1,n为大于1的奇数nn−1⋅n−2n−3⋯21⋅2π,n为正偶数∫0πsinnxdx=2∫02πsinnxdx∫0πcosnxdx={0，n为正奇数2∫02πcosnxdx,n为正偶数∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={0，n为正奇数4∫02πcosnxdx,n为正偶数

若f(x)f(x)f(x)以T为周期连续，有∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx=∫−T2T2f(x)dx\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx=∫−2T2Tf(x)dx

f以T为周期→{f′以T为周期∫0Tf(x)dx不一定是周期函数\begin{aligned} &f以T为周期 \rightarrow \begin{cases} &f'以T为周期\\ &\int_0^Tf(x)dx不一定是周期函数 \end{cases}\\ \end{aligned} f以T为周期→{f′以T为周期∫0Tf(x)dx不一定是周期函数

祖孙三代的奇偶性齐次：

f奇→{f′偶∫axf(t)dt偶f偶→{f′奇∫0xf(t)dt偶∫axf(t)dt奇偶性不定,a≠0\begin{aligned} &f奇 \rightarrow \begin{cases} &f'偶\\ &\int_a^xf(t)dt偶\\ \end{cases}\\ &f偶 \rightarrow \begin{cases} &f'奇\\ &\int_0^xf(t)dt偶\\ &\int_a^xf(t)dt奇偶性不定,\quad a \neq 0\\ \end{cases} \end{aligned} f奇→{f′偶∫axf(t)dt偶f偶→⎩⎪⎨⎪⎧f′奇∫0xf(t)dt偶∫axf(t)dt奇偶性不定,a=0

祖孙三代的周期性：

$$
\begin{aligned}
&{\kern 12pt}f(x)=f(x+T) \Rightarrow f’(x)以T为周期\
&\left{\begin{aligned}
&f(x)=f(x+T)\
&\int_{0}^{T}f(x)dx=0\\end{aligned}\right.
\Rightarrow g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt以T为周期
\
\end{aligned}

注意后面这个与被积函数在周期上的积分性质做区分，即：

若f(x)f(x)f(x)是以TTT周期的连续函数，aaa为任意常数，有：

∫0Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx ∫0Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx

这点性质有时可用于积分复现

两个常用式子：

∫0π2sin⁡xdx=1∫0π2sin⁡2xdx=π4\begin{aligned} &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=1\\ &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^2xdx=\frac{\pi}{4}\\ \end{aligned} ∫02πsinxdx=1∫02πsin2xdx=4π

其余区间的或者cos⁡x\cos xcosx的值根据对称性计算即可

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