第一章 自动控制的一般概念

反馈控制系统的组成

• 测量元件：
    职能：检测被控制的物理量(若该物理量是非电量，一般要转换成为电量)。
    举例：测速发电机用于检测电动机轴的速度并转换为电压；电位器、旋转变压器或自整角机用于检测角度并转换为电压；热电偶用于检测温度并转换为电压等。
• 给定元件：
    职能：给出与期望的被控量相对应的系统输入量。
• 比较元件：
    职能：把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的输入量进行比较，求出它们之间的偏差。
    举例：差动放大器，机械差动装置，电桥电路等。
• 放大元件：
    职能：将比较元件给出的偏差信号进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。
    举例：集成电路、晶闸管等组成的电压放大级和功率放大级。
• 执行元件：
    职能：直接推动被控对象，使其被控量发生变化。
    举例：阀，电动机，液压马达等。
• 校正元件(补偿元件)：
    职能：改善系统的性能。
    举例：电阻、电容组成的无源或有源网络。
• 被控对象：
    可能是一个设备，多数由一些零件有机地组合在一起，其作用是完成一种特定的操作
    联系：被控对象的输出量便是系统的输出量，即被控量(一般置于方块图的最右端)
  
  

习题1-2

  图1-22是仓库大门自动控制系统原理图。试说明系统自动控制大门开闭的工作原理并画出系统方框图。

  可以先去尝试着分析这个系统是怎么运作的，可以看到，右下角是一个对称的电路(电位器桥式测量电路)，当我们合上开门开关时，从开门开关处采集的电压值与从大门位置采集的电压值共同进入放大器，由于电阻分压原理，二者不等，产生偏差电压，经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，提起大门，直到与大门相连的电位器电刷与开门开关位置处的电位器电刷水平。

习题1-4

  图1-24为水温控制系统原理示意图。冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热，从而得到一定温度的热水。冷水流量变化用流量计测量。试绘制系统方块图，并说明为了保持热水温度为期望值，系统是如何工作的？系统的被控对象和控制装置各是什么？

  先分析工作原理，首先，水温控制系统，自然是要求水的温度可控，明确被控量与给定量都应该与温度有关。逐个分析：

• 温度控制器：通过对蒸汽阀与冷水阀来对温度实现控制，属于控制装置
• 流量计：根据按流量顺馈(前馈)的提示，流量计应该是测量扰动信号（冷水），送回输入端
• 温度测量：作为测量元件，反馈温度值给温度控制器
• 阀门：作为执行元件，直接控制蒸汽进入热交换器的量
• 热交换器：作为被控对象，其功能是完成热交换，改变水温

  之后，依据反馈系统的基本框图，绘制方框图：

  结论：系统的被控对象是热交换器，被控量是热水温度，控制装置是温度控制器

自动控制系统的分类

1.线性连续控制系统

  此类系统可用线性微分方程式描述，一般形式为：
a 0 d n d t n c ( t ) + a 1 d n − 1 d t n − 1 c ( t ) + . . . + a n − 1 d d t c ( t ) + a n c ( t ) = b 0 d m d t m r ( t ) + b 1 d m − 1 d t m − 1 r ( t ) + . . . + b m − 1 d d t r ( t ) + b m r ( t ) a_0\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^n}c(t)+a_1\frac{{\rm d}^{n-1}}{{\rm d}t^{n-1}}c(t)+...+a_{n-1}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}c(t)+a_nc(t)=b_0\frac{{\rm d}^m}{{\rm d}t^m}r(t)+b_1\frac{{\rm d}^{m-1}}{{\rm d}t^{m-1}}r(t)+...+b_{m-1}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}r(t)+b_mr(t) a0​dtndn​c(t)+a1​dtn−1dn−1​c(t)+...+an−1​dtd​c(t)+an​c(t)=b0​dtmdm​r(t)+b1​dtm−1dm−1​r(t)+...+bm−1​dtd​r(t)+bm​r(t)

• c ( t ) c(t) c(t):被控量
• r ( t ) r(t) r(t):系统输入量
• 时变系统：系数 a 0 , a 1 , . . . , a n , b 0 , b 1 , . . . , b m a_0,a_1,...,a_n,b_0,b_1,...,b_m a0​,a1​,...,an​,b0​,b1​,...,bm​随时间变化
• 定常系统：系数$a_0,a_1,…,a_n,b_0,b_1,…,b_m为常数

  线性定常系统还可以根据输入量变化规律分为恒指控制系统，随动系统和程序控制系统(见课本12页)

2.线性定常离散控制系统

  离散系统是指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式，因而信号在时间上是离散的。连续信号经过采样开关的采样就可以转换成离散信号。一般，在离散系统中既有连续的模拟信号，也有离散的数字信号。
  因此，离散系统要用差分方程描述，线性差分方程的一般形式为：
a 0 c ( k + n ) + a 1 c ( k + n − 1 ) + . . . + a n − 1 c ( k + 1 ) + a n c ( k ) = b 0 r ( k + m ) + b 1 r ( k + m − 1 ) + . . . + b m − 1 r ( k + 1 ) + b m r ( k ) a_0c(k+n)+a_1c(k+n-1)+...+a_{n-1}c(k+1)+a_nc(k)=b_0r(k+m)+b_1r(k+m-1)+...+b_{m-1}r(k+1)+b_mr(k) a0​c(k+n)+a1​c(k+n−1)+...+an−1​c(k+1)+an​c(k)=b0​r(k+m)+b1​r(k+m−1)+...+bm−1​r(k+1)+bm​r(k)

• m < = n m<=n m<=n， n n n为差分方程的次数
• a 0 , a 1 , . . . , a n a_0,a_1,...,a_n a0​,a1​,...,an​和 b 0 , b 1 , . . . , b m b_0,b_1,...,b_m b0​,b1​,...,bm​为常系数
• r ( k ) , c ( k ) r(k),c(k) r(k),c(k)分别为输入和输出采样序列

线性系统系统特性：
  满足叠加性和齐次性。
  如果输入 r 1 ( t ) ⟹ r_1(t)\implies r1​(t)⟹输出 y 1 ( t ) y_1(t) y1​(t),输出 r 2 ( t ) ⟹ r_2(t)\implies r2​(t)⟹输出 y 2 ( t ) y_2(t) y2​(t)
  则输入 a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ⟹ ar_1(t)+br_2(t)\implies ar1​(t)+br2​(t)⟹输出 a y 1 ( t ) + b y 2 ( t ) ay_1(t)+by_2(t) ay1​(t)+by2​(t)

3.非线性控制系统

  系统中只要有一个元部件的输入-输出特性是非线性的，这类系统就称为非线性控制系统。这时，要用非线性微分(或差分)方程描述其特性。
  非线性方程的特点：系数与变量有关，或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项。

习题1-10

  下列各式是描述系统的微分方程，其中 c ( t ) c(t) c(t)为输出量， r ( t ) r(t) r(t)为输入量，试判断那些是线性定常或时变系统，哪些是非线性系统？
(1)  c ( t ) = 5 + r 2 ( t ) + t d 2 r ( t ) d t 2 c(t)=5+r^2(t)+t\frac{{\rm d}^2r(t)}{{\rm d}t^2\\} c(t)=5+r2(t)+tdt2d2r(t)​
(2)  d 3 c ( t ) d t 3 + 3 d 2 c ( t ) d t 2 + 6 d c ( t ) d t + 8 c ( t ) = r ( t ) \frac{{\rm d}^3c(t)}{{\rm d}t^3}+3\frac{{\rm d}^2c(t)}{{\rm d}t^2}+6\frac{{\rm d}c(t)}{{\rm d}t}+8c(t)=r(t) dt3d3c(t)​+3dt2d2c(t)​+6dtdc(t)​+8c(t)=r(t)
(3)  t d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) + 3 d r ( t ) d t t\frac{{\rm d}c(t)}{{\rm d}t}+c(t)=r(t)+3\frac{{\rm d}r(t)}{{\rm d}t} tdtdc(t)​+c(t)=r(t)+3dtdr(t)​
(4)  c ( t ) = r ( t ) c o s w t + 5 c(t)=r(t)coswt+5 c(t)=r(t)coswt+5
(5)  c ( t ) = 3 r ( t ) + 6 d r ( t ) d t + 5 ∫ − ∞ t r ( τ ) d τ c(t)=3r(t)+6\frac{{\rm d}r(t)}{{\rm d}t}+5\int_{-\infty}^tr(\tau){\rm d}\tau c(t)=3r(t)+6dtdr(t)​+5∫−∞t​r(τ)dτ
(6)  c ( t ) = r 2 ( t ) c(t)=r^2(t) c(t)=r2(t)
(7)  c ( t ) = { 0 , t<6 r ( t ) , t>=6 c(t)=\begin{cases}0, & \text{t<6} \\ r(t), & \text{t>=6} \\ \end{cases} c(t)={0,r(t),​t<6t>=6​

• 线性定常系统:(2)(5)
• 线性时变系统:(3)
• 非线性时变系统:(1)(4)
• 非线性定常系统:(6)
• 线性延迟系统:(7)

  (4)还可以用叠加定理验证：
  令 c 1 ( t ) = r 1 ( t ) c o s w t + 5 , c 2 ( t ) = r 2 ( t ) c o s w t + 5 c_1(t)=r_1(t)coswt+5,c_2(t)=r_2(t)coswt+5 c1​(t)=r1​(t)coswt+5,c2​(t)=r2​(t)coswt+5
  若 r 3 ( t ) = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) , 可 推 导 c 3 ( t ) = a r 1 ( t ) c o s w t + b r 2 ( t ) c o s w t + 5 r_3(t)=ar_1(t)+br_2(t),可推导c_3(t)=ar_1(t)coswt+br_2(t)coswt+5 r3​(t)=ar1​(t)+br2​(t),可推导c3​(t)=ar1​(t)coswt+br2​(t)coswt+5
  但 a c 1 ( t ) + b c 2 ( t ) = a r 1 ( t ) c o s w t + b r 2 ( t ) c o s w t + 5 ( a + b ) ac_1(t)+bc_2(t)=ar_1(t)coswt+br_2(t)coswt+5(a+b) ac1​(t)+bc2​(t)=ar1​(t)coswt+br2​(t)coswt+5(a+b)
  二者明显不等

典型外作用

• 阶跃函数
• 斜坡函数
• 脉冲函数
• 正弦函数

第二章 控制系统的数学模型

控制系统的时域数学模型

控制系统微分方程的建立

电路知识点回顾

电容和电感的特性

• 电容： i ( t ) = C d u d t , u ( t ) = u ( 0 ) + 1 C ∫ 0 t i d τ i(t)=C\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t},u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^ti{\rm d}\tau i(t)=Cdtdu​,u(t)=u(0)+C1​∫0t​idτ
• 电感： u = L d i d t , i ( t ) = i ( 0 ) + 1 L ∫ 0 t u d τ u=L\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t},i(t)=i(0)+\frac{1}{L}\int_0^tu{\rm d}\tau u=Ldtdi​,i(t)=i(0)+L1​∫0t​udτ

基尔霍夫定律

• 假定方向：
• KCL：假定离开结点取" + + +",进入结点取" − - −"。
• KVL：假定回路绕行方向(顺、逆时针)，回路内的电压的参考分析与回路方向一致取" + + +",否则取" − - −"

大物知识点回顾

力矩

• 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点的矢径 r ⃗ \vec{r} r 与力 F ⃗ \vec{F} F 的矢量积
  M ⃗ = r ⃗ × F ⃗ \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} M =r ×F

角动量

• 定义：质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 r ⃗ \vec{r} r 与其栋梁 m v ⃗ m\vec{v} mv 的矢量积
  L ⃗ = r ⃗ × m v ⃗ = r ⃗ × p ⃗ \vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}=\vec{r}\times\vec{p} L =r ×mv =r ×p ​

角动量与转动惯量的关系

L = J w L=Jw L=Jw

角动量定理

M ⃗ = d L ⃗ d t \vec{M}=\frac{{\rm d}\vec{L}}{{\rm d}t} M =dtdL ​

线性微分方程的求解

拉普拉斯知识点回顾

常用拉氏变换

• u ( t ) ⟺ 1 s u(t)\iff\frac{1}{s} u(t)⟺s1​
• δ ( t − t 0 ) ⟺ e − s t 0 , t 0 = 1 时 , δ ( t ) ⟺ 1 \delta(t-t_0)\iff e^{-st_0},t_0=1时,\delta(t)\iff1 δ(t−t0​)⟺e−st0​,t0​=1时,δ(t)⟺1
• e − a t u ( t ) ⟺ 1 s + a e^{-at}u(t)\iff\frac{1}{s+a} e−atu(t)⟺s+a1​
• t u ( t ) ⟺ 1 s 2 tu(t)\iff\frac{1}{s^2} tu(t)⟺s21​
  

拉氏变换的性质

• 线性关系： L [ f 1 ( t ) + f 2 ( t ) ] = F 1 ( s ) + F 2 ( s ) L[f_1(t)+f_2(t)]=F_1(s)+F_2(s) L[f1​(t)+f2​(t)]=F1​(s)+F2​(s)
• 微分性： L [ f n ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − . . . − s f n − 2 ( 0 ) − f n − 1 ( 0 ) L[f^{n}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-...-sf^{n-2}(0)-f^{n-1}(0) L[fn(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−...−sfn−2(0)−fn−1(0)
• 积分性： L [ ∫ 0 t f ( τ ) d τ ] = F ( s ) s L[\int_0^tf(\tau){\rm d}\tau]=\frac{F(s)}{s} L[∫0t​f(τ)dτ]=sF(s)​
• 时移定理： L [ f ( t − a ) u ( t − a ) ] = e − a s F ( s ) ( a ≥ 0 ) L[f(t-a)u(t-a)]=e^{-as}F(s)(a\geq0) L[f(t−a)u(t−a)]=e−asF(s)(a≥0)
• 频移定理： L [ e a t f ( t ) ] = F ( s − a ) L[e^{at}f(t)]=F(s-a) L[eatf(t)]=F(s−a)
• 相似性： L [ f ( a t ) ] = 1 a F ( s a ) L[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) L[f(at)]=a1​F(as​)

部分分式展开法

  单根：如果分母多项式有n个单根，分别是 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1,p_2,...,p_n p1​,p2​,...,pn​
  对于 F ( s ) = N ( s ) D ( s ) = a 0 s m + a 1 s m − 1 + . . . + a m b 0 s n + b 1 s n − 1 + . . . + b n F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{a_0s^m+a_1s^{m-1}+...+a_m}{b_0s^n+b_1s^{n-1}+...+b_n} F(s)=D(s)N(s)​=b0​sn+b1​sn−1+...+bn​a0​sm+a1​sm−1+...+am​​
  可以展开为： F ( s ) = K 1 s − p 1 + K 2 s − p 2 + 。 。 。 + K n s − p n F(s)=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+。。。+\frac{K_n}{s-p_n} F(s)=s−p1​K1​​+s−p2​K2​​+。。。+s−pn​Kn​​
得 K i = [ ( s − p i ) F ( s ) ] s = p i K_i=[(s-p_i)F(s)]_{s=p_i} Ki​=[(s−pi​)F(s)]s=pi​​
  共轭复根：略
  重根：略

控制系统的复数域数学模型

传递函数

• 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
  G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s m + b 1 s m − 1 + . . . + b m − 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + . . . + a n − 1 s + a n G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n} G(s)=R(s)C(s)​=a0​sn+a1​sn−1+...+an−1​s+an​b0​sm+b1​sm−1+...+bm−1​s+bm​​
• 性质：
• m ≤ n m\leq n m≤n,所有系数均为实数
• 传递函数只取决于系统或元件的构造和参数，与输入量无关
• 传递函数与微分方程具有相通性

  例： G ( s ) = b 1 s + b 2 a 0 s 2 + a 1 s + a 2 G(s)=\frac{b_1s+b_2}{a_0s^2+a_1s+a^2} G(s)=a0​s2+a1​s+a2b1​s+b2​​
由传递函数可得s的代数方程 ( a 0 s 2 + a 1 s + a 2 ) C ( s ) = ( b 1 s + b 2 ) R ( s ) (a_0s^2+a_1s+a_2)C(s)=(b_1s+b_2)R(s) (a0​s2+a1​s+a2​)C(s)=(b1​s+b2​)R(s),在零初始条件下，用微分算符 d d t \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} dtd​置换s，得到相应的微分方程
a 0 d 2 d t 2 c ( t ) + a 1 d d t c ( t ) + a 2 c ( t ) = b 1 d d t r ( t ) + b 2 r ( t ) a_0\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}c(t)+a_1\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}c(t)+a_2c(t)=b_1\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}r(t)+b_2r(t) a0​dt2d2​c(t)+a1​dtd​c(t)+a2​c(t)=b1​dtd​r(t)+b2​r(t)

• 传递函数 G ( s ) G(s) G(s)的拉式反变换是脉冲响应 g ( t ) g(t) g(t)
• 零初始条件含义：输入量及其各阶导数以及输出量及其各阶导数在 t = 0 − t=0_- t=0−​时，均为0

传递函数解题：对于初态不为0的情况，先用交叉相乘法还原为微分方程，再用拉氏变换法求解；对于初态为0的情况，直接求解

习题2-3

  试证明图2-49(a)的电网络与图2-49(b)的机械系统有相同的数学模型

  首先，写出左图的传递函数。
  回顾知识点：复频域中的电路定律与电路模型(运算电路)

  转换为复频域模型：直接列写传递函数方程

  其次，再来看右图，首先，我们要明确阻尼器的运动机理。
  阻尼器：产生摩擦力，大小与速度成正比，方向与运动方向相反。

  观察等式，对于系统上部而言，上部产生了向下的位移，我们假设是由一个向下的力造成的，则第一个等式的左半部分，便是与这个力相平衡的力，由于力具有相互作用性，等式左端的力会给系统中间部分产生一个向下的反作用力，使得中间部分向下移动，此时，下边的阻尼器为保持平衡，产生向上的力与之平衡。同理，下面的阻尼器也会产生反作用力作用与最下面的弹簧，也就是第二个等式。

  我们将二者的传递函数抽离出来：
G a ( s ) = R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 + ( R 1 C 1 + R 2 C 2 ) s + 1 R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 + ( R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 ) s + 1 G_a(s)=\frac{R_1R_2C_1C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2)s+1}{R_1R_2C_1C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)s+1} Ga​(s)=R1​R2​C1​C2​s2+(R1​C1​+R2​C2​+R1​C2​)s+1R1​R2​C1​C2​s2+(R1​C1​+R2​C2​)s+1​
G b ( s ) = f 1 f 2 K 1 K 2 s 2 + ( f 1 K 1 + f 2 K 2 ) s + 1 f 1 f 2 K 1 K 2 s 2 + ( f 1 K 1 + f 2 K 2 + f 1 K 2 ) s + 1 G_b(s)=\frac{\cfrac{f_1f_2}{K_1K_2}s^2+(\cfrac{f_1}{K_1}+\cfrac{f_2}{K_2})s+1}{\cfrac{f_1f_2}{K_1K_2}s^2+(\cfrac{f_1}{K_1}+\cfrac{f_2}{K_2}+\cfrac{f_1}{K_2})s+1} Gb​(s)=K1​K2​f1​f2​​s2+(K1​f1​​+K2​f2​​+K2​f1​​)s+1K1​K2​f1​f2​​s2+(K1​f1​​+K2​f2​​)s+1​
  可以看到，二者的微分方程模型阶次相同。而且如果选择适当的参数之后： R 1 = f 1 , R 2 = f 2 , C 1 = 1 K 1 = 1 , C 2 = 1 K 2 = 1 R_1=f_1,R_2=f_2,C_1=\cfrac{1}{K_1}=1,C_2=\cfrac{1}{K_2}=1 R1​=f1​,R2​=f2​,C1​=K1​1​=1,C2​=K2​1​=1。当两系统的输入按照相同的规律变化时，两系统的输出相应曲线也相同。
  满足上述条件的系统被称为相似系统（即本题中的相同数学模型），需要注意的是仅仅满足阶次相同是不够的，只有当令微分方程对应的系数相等，能够求解出适当的系统参数时，才可以称作相似系统。

零点与极点

典型元部件的传递函数

控制系统的结构图与信号流图

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