0-1背包问题的多种算法求解（C语言）

1.问题描述

有一个容量为V的背包，还有n个物体。现在忽略物体实际几何形状，我们认为只要背包的剩余容量大于等于物体体积，那就可以装进背包里。每个物体都有两个属性，即体积w和价值v。使物品装入背包的价值最大。

2.解决思路与分析

I．枚举法，首先想到最简单的枚举法，通过列举所有结果，从中筛选出满足题意的结果。

II．回溯法，在枚举法的基础上进行约束剪枝和限界剪枝。

III．动态规划，运用动态规划思想，动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，使用递归和递推算法解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

如果装不下当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

如果装得下当前物品。
假设1 :装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。
假设2:不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样
选取假设1和假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值。

枚举法代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
const int N=10;//全局变量，物品数量
const int bag=N;//全局变量，背包承重量
int max_value=0;//全局变量，记录能获得的最大价值
int backpack(int a[],int v[],int w[],int n,int t)
{int max_v=0,max_w=0;//背包累积的最大价值和最大重量 if(t>n-1)//递归结束的条件 {printf("找到一个方案");for(int i=0;i<n;i++){//遍历数组a根据其记录的0、1值进行背包价值和重量计算printf("%d",a[i]);max_v=max_v+v[i]*a[i];max_w=max_w+w[i]*a[i];}if(max_w>bag)//根据max_w判断该方案是否超重printf("\n该方案总价%d,总重%d，超重！不可行！！！\n",max_v,max_w);else{//如果不超重if(max_v>max_value)//比较该方案所获得的价值是不是比全局最优解更优max_value=max_v;//更新最优解printf("\n该方案总价%d,总重%d，可行\n",max_v,max_w);}}else{for(int i=1;i>=0;i--)//只取值1或0 {a[t]=i;//记录当前物品选1或不选0backpack(a,v,w,n,t+1);//递归到下一层}}return max_value;//返回最大价值
}
int main()
{int a[N],v[N],w[N],i,start,end;printf("背包最大承重%d公斤\n",bag);for(i=0;i<N;i++)//随机生成价值和重量{v[i]=rand()%5+1;w[i]=rand()%5+1;printf("物品%d,价值%d,重量%d\n",i,v[i],w[i]);}start=clock();printf("能获得的最大价值为：%d\n",backpack(a,v,w,N,0));end=clock();printf("耗时:%dms\n",end-start);return 0;
}

回溯法代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
const int N=10;//全局变量，物品数量
const int bag=N;//全局变量，背包承重量
int max_value=0;//全局变量，记录能获得的最大价值
int count=0;//全局变量，用于记录到达叶节点的次数
int a[N],v[N],w[N],r[N+1];//全局变量，分别保存0-1方案，物品价值，物品重量，剩余总价值
int backpack(int t,int now_v,int now_w)
{//t表示递归层数，now_v表示当前层所累积的价值，now_w表示当前层所累积的重量int i;if(t>N-1)//当递归到达叶子节点时{printf("找到一个方案");for(i=0;i<N;i++){printf("%d",a[i]);}if(now_w>bag)//判断方案是否超重{printf("\n该方案总价%d,总重%d，超重！不可行！！！\n",now_v,now_w);}else//如果不超重{if(now_v>max_value)//判断该方案所获得的价值是不是更优{max_value=now_v;//更新最优解}printf("\n该方案总价%d,总重%d，可行\n",now_v,now_w);}count++;}else{for(i=0;i<=1;i++){a[t]=i;//记录当前物品选或不选now_v=now_v+v[t]*i;//根据0-1值累加价值now_w=now_w+w[t]*i;//根据0-1值累加重量if(now_w<=bag&&now_v+r[t+1]>max_value) // (限件减枝 约束减枝)backpack(t+1,now_v,now_w);//递归到下一层}}return max_value;//返回最大价值
}
int main()
{int i,start,end;printf("背包最大承重%d公斤\n",bag);for(i=0;i<N;i++)//随机生成价值和重量范围1-5{v[i]=rand()%5+1;w[i]=rand()%5+1;printf("物品%d,价值%d,重量%d\n",i,v[i],w[i]);}r[N]=0;for(i=N-1;i>=0;i--)//计算所有情况下剩余物品的总价值(约束减枝){r[i]=r[i+1]+v[i];}start=clock();printf("能获得的最大价值为：%d\n",backpack(0,0,0));end=clock();printf("检查方案%d个,",count);printf("耗时:%dms\n",end-start);return 0;
}

动态规划代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
const int N=1000;//全局变量，物品数量
const int bag=N;//全局变量，背包承重量
int max_value=0;//全局变量，记录能获得的最大价值
int a[N],v[N],w[N],r[N+1];//全局变量，分别保存0-1方案，物品价值，物品重量，剩余总价值
int dp[N][bag+1]={0},fa[N]={0};
int max(int a,int b);
void Find(int N,int bag);
int backpack()
{for(int i=1;i<N;i++){    for(int j=1;j<=bag;j++){if(w[i]>j)dp[i][j]=dp[i-1][j];elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);}}return dp[N-1][bag];//返回最大价值
}
void Find(int i,int j)
{if(i==0){for(int i=0;i<N;i++)printf("%d",fa[i]);}if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){fa[i]=0;Find(i-1,j);}else if(dp[i][j]==dp[i-1][j-w[i]]+v[i]){fa[i]=1;Find(i-1,j-w[i]);}}
int main()
{int i,start,end;printf("背包最大承重%d公斤\n",bag);for(i=0;i<N;i++)//随机生成价值和重量范围1-5{v[i]=rand()%5+1;w[i]=rand()%5+1;printf("物品%d,价值%d,重量%d\n",i,v[i],w[i]);}r[N]=0;start=clock();printf("能获得的最大价值为：%d\n",backpack());end=clock();Find(N-1,bag-1);printf("耗时:%dms\n",end-start);return 0;
}
int max(int a,int b)
{
if(a>b) return a;
else return b;
}

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