时间序列分析
将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。

文章目录

(1) 时间序列的基本概念
- 1. 组成要素
- 2. 时间序列的分类
- 3. 时间序列的分解
- - ① 长期变动趋势 T
  - ② 季节趋势 S
  - ③ 循环趋势 C
  - ④ 不顾则变动 I
- 4. 时间序列的分解模型
(2) 季节分解
(3) 指数平滑法
- 1. 简单指数平滑法
- 2. 线性趋势模型
- 3. 阻尼趋势模型
- 4. 简单季节趋势模型
- 5. Holt-Winters 加法模型
- 5. Holt-Winters 乘法模型
(4) ARIMA 模型
- 1. 平稳时间序列和白噪声序列
- 2. 差分方程与滞后算子
- - ① 差分
  - ② 差分方程
  - ③ 差分方程的特征方程
  - ④ 滞后算子
- 3. AR（p）与 MA（q）
- - ① AR（p）--p 阶自回归模型
  - ② MA(q)--q 阶移动平均模型
  - ③ ARMA(p,q)--自回归移动平均模型
- 4. ACF与PACF
- - ① ACF自相关系数
  - ② PACF偏自相关系数
  - ③ 使用PACF与ACF判断模型
- 5. 模型选择准则
- 6. 判断模型是否识别完全
- 7. ARIMA(p,d,q)
- 8. SARIMA模型

(1) 时间序列的基本概念

1. 组成要素

时间要素。
数值要素。

2. 时间序列的分类

时期序列：数值要素反映现象在一定时期内的表现。(历年的 GDP )
时点序列：数值要素反映现象在一定时间点上的瞬时水平。(每次模拟考试的成绩)
时期序列可加（相加表示更长一段时期的数值），时点序列不可加。(类比速度和加速度)

3. 时间序列的分解

① 长期变动趋势 T

表示统计指标在较长一段时间，受到某些长期因素(政策，生产力等)的影响，表现持续上升或持续下降的趋势。

② 季节趋势 S

由于季节的转变使指标数据发生周期性的变动。季节是广义的，可以为月、季、周，但不能是年。关键的核心在于周期性。

③ 循环趋势 C

与季节趋势的不同在于一方面时间通常以年作为单位，另一方面表现的只是增减趋势的交替出现，而不一定有严格的周期性。

④ 不顾则变动 I

扰动项，没有规律也不可预测，是偶然因素导致的。

4. 时间序列的分解模型

叠加模型：适用于四种变动之间是相互独立的关系。Y=T+S+LY=T+S+LY=T+S+L
乘积模型：适用于四种变动之间存在相互影响的关系。Y=T×S×LY=T\times S\times LY=T×S×L
YYY 表示指标数值的最终变动。
选取准则：
- 数据必须具有周期性。月份，季度数据可以用，但年份数据不能用。
- 不存在季节波动，两者都可以选择。
- 存在季节波动，随时间推移，季节波动变动较大可以优先考虑乘积模型，季节波动变化不大可以优先考虑叠加模型。

(2) 季节分解

使用 SPSS 软件，选取叠加模型还是乘积模型。

(3) 指数平滑法

1. 简单指数平滑法

适用于不含趋势和季节成分的情况。
类似于 ARIMA(0,1,1)。
令 xtx_txt 为 ttt 时刻的观测数据， StS_tSt 为第 ttt 期的平滑值，再令 St=x^t+1S_t=\hat{x}_{t+1}St=x^t+1 为第 t+1t+1t+1 期的预测值。满足如下条件：x^t+1=αxt+(1−α)x^t\hat{x}_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)\hat{x}_tx^t+1=αxt+(1−α)x^t
其中 0≤α≤10\le \alpha \le 10≤α≤1 称为平滑系数。
代入展开式为：x^t+1=αxt+α(1−α)xt−1+α(1−α)2xt−2+⋯\hat{x}_{t+1}=\alpha x_t+\alpha(1-\alpha)x_{t-1}+\alpha(1-\alpha)^2x_{t-2}+\dotsbx^t+1=αxt+α(1−α)xt−1+α(1−α)2xt−2+⋯
注意：由公式形式决定，简单指数平滑只能预测一期。

2. 线性趋势模型

适用于线性趋势，不含季节成分。
类似于 ARIMA(0,2,2)。
ltl_tlt 表示在 ttt 时期的水平估计值，btb_tbt 表示在 ttt 时刻的趋势估计值(斜率)，0≤α≤10\le \alpha \le 10≤α≤1 为水平的平滑系数，0≤β≤10\le \beta \le 10≤β≤1 为趋势的平滑系数。
{lt=αxt+(1−α)(lt−1+bt−1)(水平平滑方程)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1(趋势平滑方程)x^t+h=lt+hbt,h=1,2,3,⋯(预测方程)\left\{ \begin{aligned} l_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(l_{t-1}+b_{t-1})&&(水平平滑方程) \\ b_t=\beta(l_t-l_{t-1})+(1-\beta)b_{t-1}&&(趋势平滑方程) \\ \hat{x}_{t+h}=l_t+hb_t,h=1,2,3,\dotsb&&(预测方程) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧lt=αxt+(1−α)(lt−1+bt−1)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1x^t+h=lt+hbt,h=1,2,3,⋯(水平平滑方程)(趋势平滑方程)(预测方程)
影响 btb_tbt 的因素是水平的增量和上一期的 bt−1b_{t-1}bt−1 的值，影响 ltl_tlt 的是当前观测值 xtx_txt，上一期的水平估计值 lt−1l_{t-1}lt−1 和上一期的趋势估计值 bt−1b_{t-1}bt−1。预测方程可以用积分做类似的理解。

3. 阻尼趋势模型

适用线性趋势逐渐减弱且不含季节性因素。
类似于 ARIMA(1,1,2)。
ltl_tlt 表示在 ttt 时期的水平估计值，btb_tbt 表示在 ttt 时刻的趋势估计值(斜率)，0≤α≤10\le \alpha \le 10≤α≤1 为水平的平滑系数，0≤β≤10\le \beta \le 10≤β≤1 为趋势的平滑系数，0<ϕ≤10<\phi\le10<ϕ≤1 为阻尼参数。
{lt=αxt+(1−α)(lt−1+ϕbt−1)(水平平滑方程)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)ϕbt−1(趋势平滑方程)x^t+h=lt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)bt(预测方程)\left\{ \begin{aligned} l_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(l_{t-1}+\phi b_{t-1})&&(水平平滑方程) \\ b_t=\beta(l_t-l_{t-1})+(1-\beta)\phi b_{t-1}&&(趋势平滑方程) \\ \hat{x}_{t+h}=l_t+(\phi+\phi^2+\dotsb+\phi^h)b_t&&(预测方程) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧lt=αxt+(1−α)(lt−1+ϕbt−1)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)ϕbt−1x^t+h=lt+(ϕ+ϕ2+⋯+ϕh)bt(水平平滑方程)(趋势平滑方程)(预测方程)
可以看出当阻尼参数越接近 0 时，对原趋势的阻碍作用越大。

下面是一张阻尼与线性的预测图。

4. 简单季节趋势模型

适用有稳定的季节成分、不含趋势。
类似于 SARIMA(0,1,1) ×\times× (0,1,1)。
ltl_tlt 表示在 ttt 时期的水平估计值，sts_tst 表示在 ttt 时刻的季节估计值，0≤α≤10\le \alpha \le 10≤α≤1 为水平的平滑系数，0≤γ≤10\le \gamma \le 10≤γ≤1 为趋势的平滑系数，mmm 代表周期的长度，月为周期就是 12，季度为周期就是 4。
{lt=α(xt−st−m)+(1−α)lt−1(水平平滑方程)st=γ(xt−lt−1)+(1−γ)st−m(季节平滑方程)x^t+h=lt+st+h−m(k+1)，k=⌊h−1m⌋(预测方程)\left\{ \begin{aligned} l_t&=\alpha (x_t-s_{t-m})+(1-\alpha)l_{t-1}&&(水平平滑方程) \\ s_t&=\gamma(x_t-l_{t-1})+(1-\gamma) s_{t-m}&&(季节平滑方程) \\ \hat{x}_{t+h}&=l_t+s_{t+h-m(k+1)}，k=\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor&&(预测方程) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ltstx^t+h=α(xt−st−m)+(1−α)lt−1=γ(xt−lt−1)+(1−γ)st−m=lt+st+h−m(k+1)，k=⌊mh−1⌋(水平平滑方程)(季节平滑方程)(预测方程)

5. Holt-Winters 加法模型

适用有稳定的季节成分、含线性趋势。
类似于 SARIMA(0,1,0) ×\times× (0,1,1)。
ltl_tlt 表示在 ttt 时期的水平估计值，sts_tst 表示在 ttt 时刻的季节估计值，0≤α≤10\le \alpha \le 10≤α≤1 为水平的平滑系数，0≤γ≤10\le \gamma \le 10≤γ≤1 为趋势的平滑系数，mmm 代表周期的长度，月为周期就是 12，季度为周期就是 4。
{lt=α(xt−st−m)+(1−α)(lt−1+bt−1)(水平平滑方程)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1(趋势平滑方程)st=γ(xt−lt−1−bt−1)+(1−γ)st−m(季节平滑方程)x^t+h=lt+hbt+st+h−m(k+1)，k=⌊h−1m⌋(预测方程)\left\{ \begin{aligned} l_t&=\alpha (x_t-s_{t-m})+(1-\alpha)(l_{t-1}+b_{t-1})&&(水平平滑方程) \\ b_t&=\beta(l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}&&(趋势平滑方程) \\ s_t&=\gamma(x_t-l_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma) s_{t-m}&&(季节平滑方程) \\ \hat{x}_{t+h}&=l_t+hb_t+s_{t+h-m(k+1)}，k=\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor&&(预测方程) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ltbtstx^t+h=α(xt−st−m)+(1−α)(lt−1+bt−1)=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1=γ(xt−lt−1−bt−1)+(1−γ)st−m=lt+hbt+st+h−m(k+1)，k=⌊mh−1⌋(水平平滑方程)(趋势平滑方程)(季节平滑方程)(预测方程)
水平方程表示在 ttt 时刻，季节性调整的观察值与非季节性预测值之间的加权平均值。
季节性方程表示当前季节性指数和去年同一季节（即 mmm 个时间段前）的季节性指数之间的加权平均值。

5. Holt-Winters 乘法模型

适用不稳定的季节成分、含线性趋势。
不存在 ARIMA 模型。
{lt=αxtst−m+(1−α)(lt−1+bt−1)(水平平滑方程)bt=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1(趋势平滑方程)st=γxtlt−1+bt−1+(1−γ)st−m(季节平滑方程)x^t+h=(lt+hbt)st+h−m(k+1)，k=⌊h−1m⌋(预测方程)\left\{ \begin{aligned} l_t&=\alpha \frac{x_t}{s_{t-m}}+(1-\alpha)(l_{t-1}+b_{t-1})&&(水平平滑方程) \\ b_t&=\beta(l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}&&(趋势平滑方程) \\ s_t&=\gamma\frac{x_t}{l_{t-1}+b_{t-1}}+(1-\gamma) s_{t-m}&&(季节平滑方程) \\ \hat{x}_{t+h}&=(l_t+hb_t)s_{t+h-m(k+1)}，k=\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor&&(预测方程) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ltbtstx^t+h=αst−mxt+(1−α)(lt−1+bt−1)=β(lt−lt−1)+(1−β)bt−1=γlt−1+bt−1xt+(1−γ)st−m=(lt+hbt)st+h−m(k+1)，k=⌊mh−1⌋(水平平滑方程)(趋势平滑方程)(季节平滑方程)(预测方程)
下图为分别使用乘法模型与加法模型进行的预测：

(4) ARIMA 模型

1. 平稳时间序列和白噪声序列

协方差平稳(弱平稳)：时间序列 xt{x_t}xt 满足以下三个条件
- E(xt)=E(xt−s)=μE(x_t)=E(x_{t-s})=\muE(xt)=E(xt−s)=μ 均值固定为常数。
- Var(xt)=var(xt−s)=σ2Var(x_t)=var(x_{t-s})=\sigma^2Var(xt)=var(xt−s)=σ2 方差存在且为常数。
- Cov(xt,xt−s)=γsCov(x_t,x_{t-s})=\gamma_sCov(xt,xt−s)=γs 协方差只与间隔 sss 有关，与 ttt 无关。
白噪声：时间序列 xt{x_t}xt 满足以下三个条件
- E(xt)=E(xt−s)=0E(x_t)=E(x_{t-s})=0E(xt)=E(xt−s)=0
- Var(xt)=Var(xt−s)=σ2Var(x_t)=Var(x_{t-s})=\sigma^2Var(xt)=Var(xt−s)=σ2 方差存在且为常数。
- Cov(xt,xt−s)=0Cov(x_t,x_{t-s})=0Cov(xt,xt−s)=0

2. 差分方程与滞后算子

① 差分

目的：通过作差来消除整体趋式或者季节变动的影响，比如下面 google 的股价，右边是做完差分后的状态。

② 差分方程

将某个时间序列变量表示为该变量的滞后项、时间和其他变量的一个函数方程。
自回归 AR(p)AR(p)AR(p) 模型yt=α0+α1yt−1+⋯+αpyt−p+ϵty_t=\alpha_0+\alpha_1y_{t-1}+\dotsb+\alpha_py_{t-p}+\epsilon_tyt=α0+α1yt−1+⋯+αpyt−p+ϵt
移动平均 MA(q)MA(q)MA(q) 模型yt=ϵt+β1ϵt−1+⋯+βqϵt−qy_t=\epsilon_t+\beta_1\epsilon_{t-1}+\dotsb+\beta_q\epsilon_{t-q}yt=ϵt+β1ϵt−1+⋯+βqϵt−q
自回归移动平均 ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q) 模型yt=α0+∑i=1pαiyt−i+ϵt+∑i=1qβiϵt−iy_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{p}\alpha_iy_{t-i}+\epsilon_t+\sum_{i=1}^{q}\beta_i\epsilon_{t-i}yt=α0+i=1∑pαiyt−i+ϵt+i=1∑qβiϵt−i

③ 差分方程的特征方程

差分方程的齐次部分：只包含该变量自身及其滞后项。
特征方程：令齐次部分中的 yt=xty_t=x^tyt=xt。
例如，对自回归移动平均 ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型：
齐次部分：yt=∑i=1pαiyt−iy_t=\sum_{i=1}^{p}\alpha_iy_{t-i}yt=i=1∑pαiyt−i
特征方程(代入化简)：xp=α1xp−1+α2xp−2+⋯+αpx^p=\alpha_1x^{p-1}+\alpha_2x^{p-2}+\dotsb+\alpha_pxp=α1xp−1+α2xp−2+⋯+αp

④ 滞后算子

用来简化差分方程的书写。
用符号 LLL 来表示滞后算子，Liyt=yt−iL^iy_t=y_{t-i}Liyt=yt−i
- LC=CLC=CLC=C(CCC为常数)
- (Li+Lj)yt=yt−i+yt−j(L^i+L^j)y_t=y_{t-i}+y_{t-j}(Li+Lj)yt=yt−i+yt−j
- LiLjyt=yt−i−jL^iL^jy_t=y_{t-i-j}LiLjyt=yt−i−j
差分的转化：
- 一阶差分：Δyt=yt−yt−1=(1−L)yt\Delta y_t=y_t-y_{t-1}=(1-L)y_tΔyt=yt−yt−1=(1−L)yt
- 二阶差分：Δyt=(yt−yt−1)−(yt−1−yt−2)=(1−L)2yt\Delta y_t=(y_t-y_{t-1})-(y_{t-1}-y_{t-2})=(1-L)^2y_tΔyt=(yt−yt−1)−(yt−1−yt−2)=(1−L)2yt
- k 阶差分：Δyt=(1−L)kyt\Delta y_t=(1-L)^ky_tΔyt=(1−L)kyt

3. AR（p）与 MA（q）

① AR（p）–p 阶自回归模型

yt=α0+α1yt−1+⋯+αpyt−p+ϵt⇌(1−∑i=1pLiαi)yt=ϵt+α0y_t=\alpha_0+\alpha_1y_{t-1}+\dotsb+\alpha_py_{t-p}+\epsilon_t\rightleftharpoons (1-\sum_{i=1}^pL^i\alpha_i)y_t=\epsilon_t+\alpha_0yt=α0+α1yt−1+⋯+αpyt−p+ϵt⇌(1−i=1∑pLiαi)yt=ϵt+α0

ϵt\epsilon_tϵt 是方差为 σ2\sigma^2σ2的白噪声序列。
自回归只能适用于预测与自身前期相关的现象。
自回归模型只能应用于平稳的序列，如果不平稳要先转换。
平稳的判断：
转换成特征方程并解出 ppp 个特征根 xp=α1xp−1+α2xp−2+⋯+αpx^p=\alpha_1x^{p-1}+\alpha_2x^{p-2}+\dotsb+\alpha_pxp=α1xp−1+α2xp−2+⋯+αp
- ppp 个特征根的模值均比 111 小，平稳。
- ppp 个特征根中有 kkk 个根模值恰好为 111，进行 kkk 阶单位根过程，就是进行 kkk 次差分。
- ppp 个特征根中存在一个根的模值比 111 大，不平稳。

② MA(q)–q 阶移动平均模型

yt=ϵt+β1ϵt−1+⋯+βqϵt−q⇌yt=ϵt+(1+∑i=1qLiβi)ϵty_t=\epsilon_t+\beta_1\epsilon_{t-1}+\dotsb+\beta_q\epsilon_{t-q}\rightleftharpoons y_t=\epsilon_t+(1+\sum_{i=1}^qL^i\beta_i)\epsilon_tyt=ϵt+β1ϵt−1+⋯+βqϵt−q⇌yt=ϵt+(1+i=1∑qLiβi)ϵt

可以与AR模型之间相互转化。
平稳的判断：只要 qqq 不取 ∞\infin∞ 就平稳。

③ ARMA(p,q)–自回归移动平均模型

yt=α0+∑i=1pαiyt−i+ϵt+∑i=1qβiϵt−i⇌(1−∑i=1pLiαi)yt=α0+(1+∑i=1qLiβi)ϵty_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{p}\alpha_iy_{t-i}+\epsilon_t+\sum_{i=1}^{q}\beta_i\epsilon_{t-i}\rightleftharpoons (1-\sum_{i=1}^pL^i\alpha_i)y_t=\alpha_0+(1+\sum_{i=1}^qL^i\beta_i)\epsilon_tyt=α0+i=1∑pαiyt−i+ϵt+i=1∑qβiϵt−i⇌(1−i=1∑pLiαi)yt=α0+(1+i=1∑qLiβi)ϵt

平稳性的判断：只与 AR§部分有关。

4. ACF与PACF

两个相关系数存在的条件都是时间序列是平稳的。

① ACF自相关系数

定义
ρs=cov(xt,xt−s)Var(xt)Var(xt−s)=γsγ0\rho_s=\frac{cov(x_t,x_{t-s})}{\sqrt{Var(x_t)}\sqrt{Var(x_{t-s})}}=\frac{\gamma_s}{\gamma_0}ρs=Var(xt)Var(xt−s)cov(xt,xt−s)=γ0γs 由平稳时间序列的定义转化到 γ\gammaγ 的比值，表明在一个平稳的时间序列中相隔 sss 期的两个时间点之间的相关系数。
样本的自相关系数rs=ρ^s=∑t=s+1T(xt−x‾)(xt−s−x‾)∑t=1T(xt−x‾)2r_s=\hat{\rho}_s=\frac{\sum_{t=s+1}^T(x_t-\overline{x})(x_{t-s}-\overline{x})}{\sum_{t=1}^T(x_t-\overline{x})^2}rs=ρ^s=∑t=1T(xt−x)2∑t=s+1T(xt−x)(xt−s−x)
如果时间序列是白噪声序列
ρs={1s=00s≠0\rho_s=\left\{ \begin{aligned} 1&&s=0 \\ 0&&s\not ={0} \end{aligned} \right. ρs={10s=0s=0

② PACF偏自相关系数

它衡量的是在移除滞后量 1,2,⋯,k−11,2,\dotsb,k-11,2,⋯,k−1 的影响的情况下, yty_tyt 和 yt−ky_{t-k}yt−k 的关系，而之前 ACF在求yty_tyt 和 yt−ky_{t-k}yt−k 的关系时并未去除中间变量的影响。

③ 使用PACF与ACF判断模型

具体到数据图中：

自相关函数图拖尾，偏自相关函数图 333 阶截止，因此为 AR(3)。

偏自相关函数图拖尾，自相关函数图 222 阶截止，因此为 MA(2)。

5. 模型选择准则

赤池信息准则 AIC
AIC=2(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值)AIC=2(模型中参数的个数)-2ln(模型的极大似然函数值)AIC=2(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值)
贝叶斯信息准则 BIC
BIC=ln(T)(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值)BIC=ln(T)(模型中参数的个数)-2ln(模型的极大似然函数值)BIC=ln(T)(模型中参数的个数)−2ln(模型的极大似然函数值)
TTT：样本个数。
模型中参数个数：反映模型的复杂程度。
模型的极大似然函数值：反映模型对于数据的拟合程度。

6. 判断模型是否识别完全

对残差进行检验，如果是白噪声说明识别完全，否则表示识别不完全。
Q 检验
- H0:ρ1=ρ2=⋯=ρs=0,H1:H_0:\rho_1=\rho_2=\dotsb=\rho_s=0,H_1:H0:ρ1=ρ2=⋯=ρs=0,H1: 至少有一个 ρi\rho_iρi 不为 000。
- 构造统计量Q=T(T+2)∑k=1srk2T−k∼χ2(s−n)Q=T(T+2)\sum _{k=1}^s\frac{r_k^2}{T-k}\sim \chi^2(s-n)Q=T(T+2)k=1∑sT−krk2∼χ2(s−n)
- TTT 表示样本的个数，nnn 表示模型中未知参数的个数(ARMA(p,q) n=p+q+1)，sss 根据样本量大小进行选取。

7. ARIMA(p,d,q)

目的：处理非平稳有 ddd 阶单位根的数据，进行 ddd 阶差分。

yt′=Δdyt=(1−L)dyty'_t=\Delta^dy_t=(1-L)^dy_tyt′=Δdyt=(1−L)dyt
yt′=α0+∑i=1pαiyt−i′+ϵt+∑i=1qβiϵt−i⇌(1−∑i=1pLiαi)(1−L)dyt=α0+(1+∑i=1qLiβi)ϵty'_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{p}\alpha_iy'_{t-i}+\epsilon_t+\sum_{i=1}^{q}\beta_i\epsilon_{t-i}\rightleftharpoons (1-\sum_{i=1}^pL^i\alpha_i)(1-L)^dy_t=\alpha_0+(1+\sum_{i=1}^qL^i\beta_i)\epsilon_tyt′=α0+i=1∑pαiyt−i′+ϵt+i=1∑qβiϵt−i⇌(1−i=1∑pLiαi)(1−L)dyt=α0+(1+i=1∑qLiβi)ϵt
下面是 ARIMA(1,1,1)的曲线图

8. SARIMA模型

目的：增加对季节性因素的考虑。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)mSARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_mSARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m mmm 表示周期数。

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