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一，小波阈值去噪基本理论

本博文根据小波的分解与重构原理，实现了基于硬阈值和软阈值函数的一维小波阈值去噪的C++版本，最终结果与matlab库函数运算结果完全一致。

1，小波阈值处理基本理论

小波阈值收缩法是Donoho和Johnstone在1995年提出的，以下便是养活不少学者的三篇基础论文，引得无数学者在此基础上优化，或者应用到自己的工程中然后发表相关的论文：

【1】 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Trans- actions on Information Theory, 1995, 41(3): 613−627
【2】 Donoho D L, Johnstone I M. Adapting to unknown smooth- ness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistic
Association, 1995, 90(432): 1200−1224
【3】 Donoho D L, Johnstone I M, Kerkyacharian G, Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia? Journal of Royal Statisti-
cal Society Series B, 1995, 57(2): 301−369

所谓阈值去噪简而言之就是对信号进行分解，然后对分解后的系数进行阈值处理，最后重构得到去噪信号。该算法其主要理论依据是：小波变换具有很强的去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声.于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩(shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的信号.

2，阈值函数的选取

小波分解阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数,T为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有：

硬阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）

软阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的系数shrinkage处理）

值得注意的是：

1) 硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。

2) 软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度

同时这两种函数不能表达出分解后系数的能量分布，半阈值函数是一种简单而经典的改进方案。见下图：

图1

3，阈值的确定

选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于（此阈值是Donoho提出的），其中根号右边的这个参数（叫做sigma）就是估计出来的噪声标准偏差（根据第一级分解出的小波细节系数，即整个det1绝对值系数中间位置的值），本文将用此阈值去处理各尺度上的细节系数，注意所谓全局阈值就是近似系数不做任何阈值处理外，其他均阈值处理。

最后吐槽一下这个“绝对值系数中间位置的值”

1）如果det1的长度为偶数那么，这个“中值”便是中间位置的两个数之和的平均值，比如【2,2,3,5】，中值即是2.5而不是3

2）如果det1的长度为奇数那么，这个中值就是中间位置的那个数，比如【2,3,5】，中值即3

4，阈值策略

以前写的ppt挪用过来：

5，一维信号的多级分解与重构

以下算法如果用简单的文字描述，可是：先将信号对称拓延（matlab的默认方式），然后再分别与低通分解滤波器和高通分解滤波器卷积，最后下采样，最后可以看出最终卷积采样的长度为floor(n-1)/2+n,如果想继续分解下去则继续对低频系数CA采取同样的方式进行分解。

二，matlab实现一维小波阈值去噪

1，核心库函数说明

1）wnoisest函数

作用：估计一维小波高频系数中的噪声偏差

这个估计值使用的是绝对值中间位置的值（估计的噪声偏差值）除以0.6745（Median Absolute Deviation / 0.6745），适合0均值的高斯白噪声

2）wavedec函数

一维信号的多尺度分解，将返回诸多细节系数和每个系数的长度，在matlab中键入“doc wavedec”具体功能一目了然

3）waverec函数

一维信号小波分解系数的重构，将返回重构后的信号在matlab中键入“doc waverec”具体功能一目了然，也可以键入“open waverec”查看matlab具体是怎么做的。

4）wdencmp函数

这个函数用于对一维或二维信号的压缩或者去噪，使用方法：
1 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)
2 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)
3 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)
wname是所用的小波函数，

gbl(global的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理，

lvd表示每层用不同的阈值进行处理，

N表示小波分解的层数，

THR为阈值向量，

对于格式(2)(3)每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，

SORH表示选择软阈值还是硬阈值(分别取为’s’和’h’)，

参数KEEPAPP取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。

XC是消噪或压缩后的信号，[CXC，LXC]是XC的小波分解结构，

PERF0和PERFL2是恢复和压缩L^2的范数百分比, 是用百分制表明降噪或压缩所保留的能量成分。

3.代码实现

clc;
clear;
% 获取噪声信号
load leleccum;
indx = 1:3450;
noisez = leleccum(indx);
%信号的分解
wname = 'db3';
lev = 3;
[c,l] = wavedec(noisez,lev,wname);
%求取阈值
sigma = wnoisest(c,l,1);%使用库函数wnoisest提取第一层的细节系数来估算噪声的标准偏差
N = numel(noisez);%整个信号的长度
thr = sigma*sqrt(2*log(N));%最终阈值
%全局阈值处理
keepapp = 1;%近似系数不作处理
denoisexs = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'s',keepapp);
denoisexh = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'h',keepapp);
% 作图
subplot(311),
plot(noisez), title('原始噪声信号');
subplot(312),
plot(denoisexs), title('matlab软阈值去噪信号') ;
subplot(313),
plot(denoisexh), title('matlab硬阈值去噪信号') ;

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