1 相关物理

1.1极化向量 P

p是一个三维向量，Px,Py,PzP_x,P_y,P_zPx,Py,Pz表示中子在三个方向上的极化率

1.2布洛赫方程

程序中用数值的方法模拟了布洛赫方程

布洛赫方程比较难计算出数值解，本文（程序）的主要工作就是找到另一种方法，模拟布洛赫方程
将B与P的关系模拟出来

1.3磁通量的积分 S

1.4旋磁比

γ=ωB0\gamma=\frac{\omega}{B_0}γ=B0ω
本项目内容：
在研究极化中子成像技术和装置的基础上，设计与实现一个对应的中子成像系统，采用高性能优化算法（计算过程必须快速、准确和精确），通过跟踪中子传输过程中的中子自旋，对大量的中子自旋历史进行平均，解决布洛赫的进动方程的任意磁感应配置问题，包括时间依赖性等，并通过与已知解析表达式的简单情况的比较来评估精度，给出非均匀磁场情况下的精度和执行时间

2 方法

研究极化向量P与磁场B(t)B(t)B(t)的关系，但又要避开布洛赫方程。

首先根据距离切片，
切片内按BBB的方向旋转坐标系，使PPP和zzz轴夹角为拉莫尔进动角θ\thetaθ，便于建立微分方程
引入磁通量积分SSS，问题变为：切片内PPP与S(t)S(t)S(t)的关系
P可用θ,ϕ\theta,\phiθ,ϕ表示，给出了θ,ϕ\theta,\phiθ,ϕ关于S(t)S(t)S(t)的微分方程
用龙格库塔方法来求解微分方程的数值解，用龙贝格积分计算S(t)S(t)S(t)

3 过程

将磁场切片，近似认为切片内磁场为稳恒磁场

其中，以第一个切片的磁场方向为基准坐标系
在切片内，根据切片内的磁场方向，旋转坐标系，为每个切片确定旋转矩阵R

旋转的过程对应的旋转矩阵

旋转坐标系后，将P分解
根据布洛赫方程，P的方向会受B影响（P大小不变），所以P与B之间的夹角θ\thetaθ也会随着B的变换而变换。P除了与切片内磁场相关，还与轨迹相关

所以S(t)S(t)S(t)可以作为P的自变量，跟踪中子自旋的过程变为，跟踪P如何随着S变换

因为：Px2+Py2+Pz2=1P_x^2+P_y^2+P_z^2=1Px2+Py2+Pz2=1 ，P的自由度为2
即：用ϕ,θ\phi,\thetaϕ,θ就可以将P向量确定下来
Pz=cosθP_z=cos\thetaPz=cosθ
Px=1−Pbz2cosϕP_x=\sqrt{1-Pb_z^2}cos\phiPx=1−Pbz2cosϕ
Py=1−Pbz2sinϕP_y=\sqrt{1-Pb_z^2}sin\phiPy=1−Pbz2sinϕ
根据两个公式求解微分方程dcosθdS,dϕdS\frac{dcos\theta}{dS},\frac{d\phi}{dS}dSdcosθ,dSdϕ的数值解，进而得出P
数学
由上面的过程知，求p的微分方程转为了求ϕ,θ\phi,\thetaϕ,θ的微分方程
论文中给出了公式【18】【20】

通过求解微分方程，最终得到ϕ,θ\phi,\thetaϕ,θ的数值解

可以解出Px、Py、PzP_x、P_y、P_zPx、Py、Pz，最后每个切片内再乘以R−1R^{-1}R−1来还原坐标系后就得到每个切片内的极化向量P了

5 程序

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