由IRR看超越方程求解
生活中,我们可能遇到这样的情况,朋友小明向你借10000元,保证5个月连本带息还给你。假设你手上有如下两套方案:
| 方案1 | 方案2
----|----|---
第一月还款|3350 | 2100
第二月还款|3050 | 2100
第三月还款|2000 | 2100
第四月还款|1000 | 2100
第五月还款|1000 | 2100
总还款|10400 | 10500
如果单看收益/利息的话,毫无疑问应该选择方案2。那是否真的就是方案2更好?或者说如果某个方案更好,它相当于另一个方案好多少,能否量化?回答这个问题就需要用到IRR的知识。
IRR( internal rate of return)内部收益率,是一种投资的评估方法,也就是找出资产潜在的回报率,其原理是利用内部回报率折现,投资的净现值恰好等于零。其求解公式如下:
其中n代表回合(案例中N=5)
,Cn代表收益,C0为初始投资金额(为负数,如方案1,C0=-10000,C1=3350...)
,r就是需要求解的IRR。公式可以看出是一个一元多次方程,我们知道五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。如果要求解这个方程的根就需要用到超越方程求解方法。
Newton's method
牛顿法(Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
公式如下:
使用牛顿法,我们需要初始一个x0,尽可能贴近要求解的根。这个时候这个方程会收敛(Newton's method只具有局部收敛性)
,当达到我们精度要求,就可以得到解。对于我们要解的IRR,应该是位于(-1,1]之间的值,我们的x0也就可以选择这其中的数字进行迭代。
我的实现代码如下:
long double f(long double x)
{long double out = 0;for (int i = 0; i <= M; i++) {if (i == 0) {out -= c[i] * powl(x, M);}else{out += c[i] * powl(x, M-i);}}return out;
}long double derf(long double x)
{long double out = 0;for (int i = 0; i < M; i++) {if (i == 0) {out -= c[i] * powl(x, M-1) * M;}else{out += c[i] * powl(x, M-i-1) * (M - 1);}}return out;
}long double NewtonRaphson(long double factor)
{long double up = f(factor), down = derf(factor);return factor - up / down;
}
调用的代码:
long double pre = 1.618;long double now = NewtonRaphson(pre);while (fabsl(now-pre) > precision * fabsl(now)) {if (fabsl(now) < precision) {break;}pre = now;now = NewtonRaphson(pre);}
其中precision就是精度,设置的是1e-9,最后如果能找到结果,那么now-1就是IRR。Newton's method可以解决一部分超越方程求根问题,但是某些方程在Newton's method下会呈现不收敛情况,就不能用这种方法。
Bisection method
二分法(英语:Bisection method),是一种方程式的近似值求法,也可以用来求已知范围的超越方程的解。IRR正好就是求解区间(-1,1]的值,所以可以使用Bisection method。
求解流程如下:
若要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解),则:
- 先找出一个区间 [a, b],使得f(a)与f(b)异号。根据介值定理,这个区间内一定包含着方程式的根。
- 求该区间的中点m=(a+b)/2,并找出 f(m) 的值。
- 若 f(m) 与 f(a) 正负号相同则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。
- 重复第2和第3步至理想精确度为止。
我的实现代码如下:
long double f(long double x)
{long double out = 0;for (int i = 0; i <= M; i++) {if (i == 0) {out -= c[i] * powl(x, M);}else{out += c[i] * powl(x, M-i);}}return out;
}long double biSearch()
{long double left = precision, right = 2;while (fabsl(right - left) > precision) {long double mid = (right + left) / 2.0;long double fmid = f(mid),fleft = f(left);if (fmid * fleft > 0) {left = mid;}else{right = mid;}}return right;
}
这里left初始并没有取0,是为了防止取到IRR=-1而抛弃了其他更有意义的值。
Secant method
在数值分析中,割线法(Secant method)是一个求根算法,该方法用一系列割线的根来近似代替函数f的根。他和牛顿的算法思想相似,但实现方式不同,这种方法同样也有不收敛的情况。
公式如下:
从上式中可以看出,割线法需要两个初始值x0和x1,它们离函数的根越近越好。
我的实现代码如下:
long double f(long double x)
{long double out = 0;for (int i = 0; i <= M; i++) {if (i == 0) {out -= c[i] * powl(x, M);}else{out += c[i] * powl(x, M-i);}}return out;
}long double secant()
{long double first = precision, second = 2;while (fabsl(second - first) > precision) {long double f1 = f(first),f2 = f(second);long double next = second - f2 * (second - first) / (f2 - f1);first = second;second = next;}return second;
}
Microsoft Excel中求解IRR的公式就是用的这个算法,Excel中的精度是0.00001%。
Regula Falsi method
这种算法是针对前面Secant Method和Newton Method算法可能出现不收敛情况而提出的,它一定会收敛,并且相对于Bisection Method效率更高。
他的思想是在交换逼近方向的时候用一个系数(这里选2)
去调整取值。公式如下(如果系数由1/2变为1,公式就和Secant Method一样)
:
与
我的实现代码如下:
long double f(long double x)
{long double out = 0;for (int i = 0; i <= M; i++) {if (i == 0) {out -= c[i] * powl(x, M);}else{out += c[i] * powl(x, M-i);}}return out;
}long double Falsi()
{long double left = precision, right = 2;int side = 0;long double fleft = f(left), fright = f(right);long double ratio = (fleft*right - fright *left) / (fleft - fright);while (fabsl(right - left) > precision) {ratio = (fleft*right - fright *left) / (fleft - fright);long double fratio = f(ratio);if (fright * fratio > 0) {right = ratio;fright = fratio;if (side == -1) {fleft /= 2;}side = -1;}else if (fleft * fratio > 0){left = ratio;fleft = fratio;if (side == 1) {fright /= 2;}side = 1;}else{break;}}return ratio;
}
现在有了超越方程的解法与IRR的概念,那么对于小明的借款,到底哪种方案对于自己更好呢?
下面看一下两种方案Excel计算结果:
可以看到方案1的IRR=1.69%,方案2的IRR=1.65%。方案1的虽然总利息少了,但是内部收益率更高。所以对于作为东家的自己来说选择方案1更优。
不仅限于上面的案例,类似的对于房贷还款,银行提供了等额本金与等额本息两种方式。客户往往倾向于等额本金方式,因为还款总利息更少。那么对于银行来说到底哪种方式对于他们来说更优?有了IRR和超越方程知识,我们也可以自己算一下
由IRR看超越方程求解相关推荐
- python超越方程_matlab简单的超越方程求解近似值
超越方程(英语:transcendental equation)是包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进 ...
- bootstrapwizard 参数_bootstrapWizard 这个插件古怪的用法,看不懂求解?
问题描述 找了一个老外写的关于bootstrapWizard的向导插件代码,他这个用法看不懂,一脸懵逼.百度别人写的都能看懂,他这个用法,怎么理解运行原理.求大神解答一下. 问题出现的环境背景及自己尝 ...
- java异常看不懂_报错了 看不懂求解
严重: Error configuring application listener of class CodeConsoleInitializer java.lang.ClassNotFoundEx ...
- lisp 焊缝_超声波焊接工具性能参数求解与参数图绘制
1.焊接工具性能参数解决方案 #超声波焊接# 焊接工具的参数输入和溶液反馈界面,如图2所示. 该表格是使用Microsoft Excel电子表格软件进行编译和编程的.解决方案期间需要输入的基本信息包括 ...
- MATLAB数学建模-规划模型总结| MATLAB求解
目录 1 线性规划问题(LP) 风格1 风格2 2 非线性规划 3 动态规划 A星算法 基于dijkstra的概率路线图 4 多目标规划 帕累托最优 支配(Dominace) 不可支配解集 帕累托最优 ...
- MATLAB粒子群算法求解带充电站(桩)的电动车辆路径规划EVRP问题代码实例
MATLAB粒子群算法求解带充电站(桩)的电动车辆路径规划EVRP问题代码实例 问题实例描述: 现有一个配送中心需要向20个客户点进行送货.每个客户点有不同货物需求量和卸货服务时间.配送中心和客户点的 ...
- MATLAB遗传算法求解超市物流配送选址问题实例
遗传算法编程问题实例: MATLAB遗传算法求解超市物流配送中心选址问题代码实例 添加链接描述 在范围为(0,0)到(100,100)的矩形区域内,散布着40个连锁超市,各个连锁超市的坐标及需求量见表 ...
- MATLAB水母搜索算法求解超市物流配送选址问题代码实例
MATLAB水母搜索算法求解超市物流配送选址问题实例 作者:麦哥 MATLAB水母搜索算法求解超市物流配送选址问题代码实例 水母搜索算法编程问题实例: 在范围为(0,0)到(100,100)的矩形区域 ...
- 经典汉诺塔问题的推理思路以及求解
汉诺塔是递归中的一道经典题目,接着我们看如何求解以及求解的思路. 首先了解汉诺塔 汉诺塔是给定三根柱子,通过一次移动一片圆盘将一根柱上所有圆盘移到另外一根柱上 而当圆盘数>=2时我们就要借助另外 ...
最新文章
- 【神经网络】(14) MnasNet 代码复现,网络解析,附Tensorflow完整代码
- JAVA——开启多线程的方法汇总
- nextcloud php工程师,教你如何基于宝塔面板和nextcloud搭建自己的网盘
- PyCharm喜好设置
- WCF 第一章 基础 为一个ASMX服务实现一个WCF客户端
- HTML中的行内元素和框元素详解
- matlab工作区导入多个文件,MATLAB可以直接把Excel文件中的数据导入工作区中
- linux搭建sftp服务器
- matlab画矩阵中的两列,matlab 图例 两列
- 敲笨钟(古诗词押 ong 韵)
- Palantir早期员工、连续创业者Brien Colwell:创业动力源自创造文化
- beyond compare密钥
- 使用 mesh 实现多边形裁剪图片!Cocos Creator!
- 千元平板乐Pad A1完整拆解视频
- vue 实现 高德地图 api 掩模、定位、天气
- 怎么取消服务器账号密码,FTP怎样取消账号密码登陆?
- Jeff的错题集(九):奥利给!
- poj1015陪审团——DP+路径记录
- 第1期-软件测试-简历-正确编写测试简历的姿势
- [转]第一次用joomla做网站的一点感悟
热门文章
- PHP自学笔记(基础语法篇)
- FBX二进制文件格式规范
- 第一次学习Web的总结
- Android ImageView: resolveUri failed on bad bitmap uri
- 【2016-10-14收获】Cloud IDEs
- PDF如何编辑,怎样替换PDF页面
- 大数据24小时:孙彬出任乐视云新CEO,趣店数百万学生信息数据疑似泄露
- 程序员也懂浪漫,表白代码,你值得拥有 (html+css+js制作一个结婚邀请函)
- 年会邀请函如何制作?教你一分钟快速制作年会邀请函
- logstash解析iis日志