1.Monatamic Lattice

根据X衍射中，入射光和散射光的光程差：${\bf{r}}\cdot\left({\bf{k-k'}}\right)$，振幅取决于$e^{i\bf{K}\cdot{d_j}}$

X射线衍射的Laue condition: $\bf{K=G_h}$

可以定义简单的几何结构因子（Identical basis）：

\[ S_{G_h}=\sum_j  e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}}  \]

2.Polyatomic Lattice

取原子或离子实的中心为$\stackrel{\rightarrow}{r}=0$，与某一倒格矢相联系的原子形状因子为：

\[ f_j({\bf{G_h}})=\int n_j({\bf{r}})e^{-i{\bf{G_h}}\cdot{\bf{r}}} \,dr \]

其中，下角标$j$代表了空间某一种点，该点处有原子或离子实。若对应的是离子实，${\bf{r}}$表示离子实所包含的电子相对于离子实中心的位置坐标。因此，此处针对的是离子实中包含的所有电子的求和，$n_j({\bf{r}})$的物理意义是$\stackrel{\rightarrow}{r}$处的电子浓度；$f_j({\bf{G_h}})$整体刻画了$\stackrel{\rightarrow}{r}$处对X光的散射性质；

晶体的几何结构因子被定义为：

\[ S_{G_h}=\sum_j {f_j({\bf{r}})e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}} } \]

衍射光的强度与$|S_{G_h}|^2$有关，因此衍射强度此时不仅与原子的相对排列有关，还与原子的种类（$j$为种类序号）的有关。

例1: 

以体心立方布拉维格子为例，可将其看成简单立方格子加上基元条件（两种基元）。换句话说，体心立方格子是由两种简单立方格子堆积交错堆叠而成。虽然这两种简单立方格子的倒格矢原子形状因子相同，但是$d_j$不同。

简单立方格子对应的倒格矢为

\[ {\bf{G_h}}=h_1{\bf{b_1}}+h_2{\bf{b_2}}+h_3{\bf{b_3}}=\frac{2\pi}{a}(h_1{\bf{x}}+h_2{\bf{y}}+h_3{\bf{z}}) \]

体心立方格子基元含有两种基元：

\[{\bf{d_1}}=0,{\bf{d_2}}=\frac{1}{2}a({\bf{x}}+{\bf{y}}+{\bf{z}}) \]

因此可得到：

\[  S_{G_h}=f\left[1+e^{i\pi(h_1+h_2+h_3)}\right]=f\left[1+(-1)^{h_1+h_2+h_3}\right] \]

\[ S_{G_h}=\begin{cases}0& \text{$h_1+h_2+h_3=odd$}\\2f& \text{$h_1+h_2+h_3=even$}\end{cases} \]

例2:

Consider a lattice with an n-ion basis. Suppose that the ith ion in the basis, when translated to ${\bf{r}}=0$, can be regarded as composed of $m_i$ point particles of charge $-Z_{ij}e$, located at position $\bf{b_{ij}}$, $j=1,2,...,m_i$.

(a) Show that the atomic form factor $f_i$ is given by

\[  f_i=\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{K\cdot{b_{ij}}}}　　(1) \]

(b) Show that the total structure factor $S_{G_h}=\sum_{j} {f_j({\bf{r}})e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}} }$ implied by (1) is identical to the struture factor one would have found if the lattice were equivalently decribed as having a basis of $m_1+m_2+...+m_n$ point ions.

Solution：

(a) 第$i$个离子的形状因子的物理含义是第$i$个离子内各个带点的质点的散射波叠加后对散射波振幅的贡献。第$i$个离子的形状因子为：

\[ f_i=\int n_i({\bf{r}})e^{-i{\bf{G_h}}\cdot{\bf{r}}} \,dr　　(2)\]

　　${\bf{r}}$表示离子实所包含的带电质点相对于离子实中心的位置坐标

　　将积分改为求和，得到：

\[  f_i=\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{K\cdot{b_{ij}}}}　　(3)\]

　　$m_i$表示第$i$个离子实含有的带点质点数目

(b) 基元由$n$个离子组成，结构因子：

\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {f_ie^{-i\bf{G_h}\cdot{r_i}} }　　(4)\]

　　其中$f_i$是基元中第$i$个离子的形状因子

　　将$f_i$代入结构因子，得到

\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{G_h}\cdot{b_{ij}+r_i} }}　　(5)\]

　　换个角度，把点阵直接看为带点质点的组成的基元，其结构因子为：

\[ S_{G_h}=\sum_k {f_ke^{-i\bf{G_h}\cdot{r_k}} }　　(6)\]

　　对于每个带点质点，均有$f_k=Z_{ij}$,而$\bf{r_k=r_i+b_{ij}}$, 对所有带点质点求和，可再次得到

\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{G_h}\cdot{b_{ij}+r_i} }}　　(7)\]

2017-04-30