图形变换核心原理（平移、缩放、旋转，拉伸）

以Android为例，在使用Matrix进行绘图时有如下变换方法

// 缩放
public boolean preScale(float sx, float sy, float px, float py)
// 平移
public boolean preTranslate(float dx, float dy)
// 旋转
public boolean preRotate(float degrees, float px, float py)
// 倾斜
public boolean preSkew(float kx, float ky, float px, float py)

在我们进行图片变换的时候，需要做各种各样的操作，其中的原理需要我们细细体会一下，今天来总结下图形变换的核心原理

首先我们计(w,v)为源图像的像素点位置，(x,y)为目标像素点的位置。我们当前有一个变化因子记为T,这三者之前存在着这样的映射关系：

(x,y,1)=(w,v,1)T(x,y,1)=(w,v,1)T(x,y,1)=(w,v,1)T

T是一个3×33×3的矩阵

T=[100010001]T =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}T=⎣⎡100010001⎦⎤

具体变换方式如下

变换名称	仿射矩阵	坐标公式
恒等变换	[100010001]\begin {bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}⎣⎡100010001⎦⎤	x=w y=v
尺度变换	[Cx000Cy0001]\begin {bmatrix}C_x&0&0\\0&C_y&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}⎣⎡Cx000Cy0001⎦⎤	x=Cxw,y=Cyvx=C_x w ,y = C_yvx=Cxw,y=Cyv
旋转变换	[cosθsinθ0−sinθcosθ0001]\begin {bmatrix}cos \theta&sin\theta&0\\-sin\theta &cos\theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤	x=wcosθ−vsinθx= wcos\theta -vsin\thetax=wcosθ−vsinθ y=vsinθ+wcosθy = vsin\theta +w cos\thetay=vsinθ+wcosθ
平移变换	[10tx01ty001]\begin {bmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\\\end{bmatrix}⎣⎡100010txty1⎦⎤	x=w+tx,y=v+tyx = w + t_x , y = v + t_yx=w+tx,y=v+ty
偏移变换	[1C10C210001]\begin {bmatrix}1&C_1&0\\C_2&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}⎣⎡1C20C110001⎦⎤	x=wC1+vx = w C_1 + vx=wC1+v y=wC2+vy = wC_2 + vy=wC2+v

以缩放为例，下图为缩放图像

♥

缩放公式如下

[200020001]∗[wv1]=[2w2v1]\begin {bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}*\begin {bmatrix} w\\v\\1\end{bmatrix}= \begin {bmatrix} 2w\\2v\\1\end{bmatrix}⎣⎡200020001⎦⎤∗⎣⎡wv1⎦⎤=⎣⎡2w2v1⎦⎤

（0，0）坐标变成（0，0）

（0，1）坐标变成（0，2）

（1，1）坐标变成（2，2）

（1，0）坐标变成（2，0）

同理，平移公式如下

[10x01y001]∗[wv1]=[w+xv+y1]\begin {bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&0&1\\\end{bmatrix}*\begin {bmatrix} w\\v\\1\end{bmatrix} =\begin {bmatrix} w+x\\v+y\\1\end{bmatrix}⎣⎡100010xy1⎦⎤∗⎣⎡wv1⎦⎤=⎣⎡w+xv+y1⎦⎤

平移坐标（w,v）就变成了（w+x,x+y）

图像的旋转公式如下

[cosθsinθ0−sinθcosθ0001]∗[wv1]=[wcosθ+vsinθvcosθ−vsinθ1]\begin {bmatrix}cos \theta&sin\theta&0\\-sin\theta &cos\theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}*\begin {bmatrix} w\\v\\1\end{bmatrix}=\begin {bmatrix} wcos\theta+vsin\theta&\\vcos\theta-vsin\theta\\1\end{bmatrix}⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤∗⎣⎡wv1⎦⎤=⎣⎡wcosθ+vsinθvcosθ−vsinθ1⎦⎤

矩阵乘法的概念:https://baike.baidu.com/item/矩阵乘法/5446029?fr=aladdin

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