正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859

题目大意

两个长度为nnn的序列a,ba,ba,b两两匹配，求ai>bia_i>b_iai>bi的组数比ai<bia_i<b_iai<bi的组数多kkk的方案数。
保证输入数字两两不同

解题思路

其实就是求恰好有n+k2\frac{n+k}{2}2n+k种ai>bia_i>b_iai>bi的匹配方案。

先设fi,jf_{i,j}fi,j表示到aaa的第iii个，已经选择了jjj组的方案。转移起来比较麻烦，我们不知道bbb中选了哪些。

把aaa和bbb排序后，设lil_ili表示一个最大的数字使得ai>blia_i>b_{l_i}ai>bli，然后就可以dpdpdp了
fi,j=fi−1,j+fi−1,j−1×(li−j+1)f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times(l_i-j+1)fi,j=fi−1,j+fi−1,j−1×(li−j+1)

之后发现我们很难固定其他配对的大小，可以考虑容斥，设gig_igi表示至少有iii对满足ai>bia_i>b_iai>bi的方案，那么有gi=fi×(n−i)!g_i=f_i\times (n-i)!gi=fi×(n−i)!。
然后就可以直接容斥了，因为gig_igi中有(ik)\binom{i}{k}(ki)中方案选出kkk个配对满足，所以容斥系数就是(−1)i−k(ik)(-1)^{i-k}\binom{i}{k}(−1)i−k(ki)
答案就是
∑i=kn(−1)i−k(ik)gi\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}g_ii=k∑n(−1)i−k(ki)gi
时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+9;
ll n,k,C[N][N],a[N],b[N],f[N][N],g[N],l[N],ans;
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);if((n+k)&1)return puts("0")&0;k=(n+k)/2;C[0][0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);for(ll i=1;i<=n;i++)   for(ll j=1;j<=n;j++)if(b[j]<a[i])l[i]=j;else break;f[0][0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=n;j++)f[i][j]=(f[i-1][j]+(j?f[i-1][j-1]*max(l[i]-j+1,0ll)%P:0))%P;for(ll i=n,s=1;i>=0;i--,s=s*(n-i)%P)g[i]=f[n][i]*s%P;for(ll i=k;i<=n;i++){ll tmp=g[i]*C[i][k]%P;(ans+=((i-k)&1)?P-tmp:tmp)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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