1 统计量

统计量：由样本构造一个函数，不依赖任何参数
常用统计量：样本均值（X ¯ \bar{X}）、样本方差（S 2 S^2）、样本变异系数（V=SX ¯ V=\dfrac{S}{\bar{X}}）、样本k阶距、样本k阶中心距、样本偏度、样本峰度
次序统计量：样本极差（最大值减最小值）
充分统计量：统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量。判别定理：因子分解定理

2 由正态分布导出的几个重要分布

1 χ 2 \chi^2分布

设随机变量X 1 ，X 2 ，...,X n  X_1，X_2，...,X_n相互独立，且X i (i−1,2,...,n) X_i(i-1,2,...,n)服从标准正态分布N(0,1) N(0,1)，则它们的平方和∑ n i=1 X 2 i  \sum_{i=1}^{n}{X_i^2}服从自由度为n n的χ 2  \chi^2分布。
E(χ 2 )=n;D(χ 2 )=2n E(\chi^2)=n;D(\chi^2)=2n
χ 2  \chi^2分布具有可加性，即若χ 2 1 ∼χ 2 (n 1 ),χ 2 2 ∼χ 2 (n 2 ) \chi_1^2\sim\chi^2(n_1),\chi_2^2\sim\chi^2(n_2)，且独立，则
χ 1 1 +χ 2 2 ∼χ 2 (n 1 )+χ 2 (n 2 ) \chi_1^1+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2)
χ 2  \chi^2的密度函数如下图所示：

2 t t分布

设随机变量X∼N(0,1),Y∼χ 2 (n) X\sim{N(0,1)},Y\sim\chi^2(n)，且X X与Y Y独立，则
t=XY/n − − − − √ t=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}
称为t t分布，记为t(n) t(n),其中n n为自由度。
当n≥2 n\geq2时，t t分布的数学期望E(t)=0 E(t)=0
当n≥3 n\geq3时，t t分布的方差D(t)=nn−2 D(t)=\dfrac{n}{n-2}
t t的密度函数如下图所示：

3 F F分布

设随机变量Y Y与Z Z相互独立，且Y Y和Z Z分别服从自由度为m m和n n的χ 2  \chi^2分布，随机变量X X有如下表达式：
X=Y/mZ/n =nYmZ  X=\dfrac{Y/m}{Z/n}=\dfrac{nY}{mZ}
则称X X服从第一自由度为m m，第二自由度为n n的F F分布，记为F(m,n) F(m,n)
E(X)=nn=2 ,n>2 E(X)=\dfrac{n}{n=2},n>2
D(X)=2n 2 (m+n−2)m(n−2(n−4)) ,n>4 D(X)=\dfrac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2(n-4))},n>4
F F的密度函数如下图所示：

如果随机变量X X服从t(n) t(n)，则X 2  X^2服从F(1,n)的F F分布。这在回归分析的回归系数检验中有用。

3 样本均值的分布于中心极限定理

当总体分布为正态分布N(μ,σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)时，则X ¯  \bar{X}的抽样分布仍为正态分布，期望为μ \mu，方差为σ 2 /n \sigma^2/n。这说明用样本均值X ¯  \bar{X}去估计总体均值μ \mu时，平均来说没有偏差（无偏性）；当n n越来越大时，X ¯  \bar{X}的散布程度越来越小，即用X ¯  \bar{X}估计mu mu越来越准确。
实际情况中，总体的分布不总是正态分布或近似正态分布，此时X ¯  \bar{X}的分布也将取决于总体分布情况。——中心极限定理
中心极限定理：设从均值为μ \mu、方差为σ 2  \sigma^2（有限）的任意一个总体总抽取样本量为n n的样本，当n n充分大时，样本均值X ¯  \bar{X}的抽样分布近似服从为均值为μ \mu、方差为σ 2 /n \sigma^2/n的正态分布。
注意：什么是当n充分大呢？大样本、小样本之间的区分并不是以样本容量大小来区分的。在样本容量固定的条件下所进行的统计推断、问题分析，不管样本容量有多大，都称为小样本问题，而在样本容量n—>∞的条件下所进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的n≥30为大样本，n<30为小样本只是一直经验说法。

4 样本比例的抽样分布

如果在样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X X，则样本比例用p p表示：p=X/n p=X/n
则可以用样本比例p p来估计总体比例π \pi。
当n n充分大时，p ^ \hat{p}的分布可用正态分布去逼近，此时，p ^ \hat{p}服从均值为π \pi、方差为π(1−π)n \dfrac{\pi(1-\pi)}{n}的正态分布，则
p ^ ∼N(π,π(1−π)n ) \hat{p}\sim{N(\pi,\dfrac{\pi(1-\pi)}{n})}

5 两个样本平均值之差的分布

设X 1  ¯  \bar{X_1}是独立地抽自总体X 1 ∼N(μ 1 ,σ 2 1 ) X_1\sim{N(\mu_1,\sigma_1^2)}的一个容量为n 1  n_1的样本的均值，X 2  ¯  \bar{X_2}是独立地抽自总体X 1 ∼N(μ 2 ,σ 2 2 ) X_1\sim{N(\mu_2,\sigma_2^2)}的一个容量为n 2  n_2的样本的均值，则有
E(X 1 −X 2 )=μ 1 −μ 2  E(X_1-X_2)=\mu_1-\mu_2
D(X 1 −X 2 )=σ 2 1 n 1  +σ 2 2 n 2   D(X_1-X_2)=\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}
如果两个总体均为正态分布，则X 1 −X 2  X_1-X_2也为正态分布；当n 1  n_1和n 2  n_2比较大时，一般要求n1≥30,n2≥30 n1\geq30,n2\geq30，则X 1 −X 2  X_1-X_2的抽样分布不管总体分布如何均可用正态分布来近似。

6 关于样本方差的分布

1样本方差的分布

设X 1 ,X 2 ,...,X n X_1,X_2,...,X_n为来自正态分布的样本，则可以推出：
设总体分布为N(μ,σ 2 ) N(\mu,\sigma^2)的正态分布，则样本方差S 2 S^2的分布为：
(n−1)S 2 /σ 2 ∼χ 2 (n−1) (n-1)S^2/{\sigma^2}\sim{\chi^2(n-1)}

2 两个样本方差比的分布

设X 1 ,X 2 ,...,X n 1 X_1,X_2,...,X_{n_1}为来自正态总体N(μ 1 ,σ 2 1 ) N(\mu_1,\sigma_1^2)的一个样本，Y 1 ,Y 2 ,...,Y n 1 Y_1,Y_2,...,Y_{n_1}为来自正态总体N(μ 2 ,σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2)的一个样本，且X i X_i与Y i Y_i相互独立，则
S 2 x /S 2 y σ 2 1 /σ 2 2 =S 2 x /σ 2 1 S 2 y /σ 2 2 ∼F(n 1 −1,n 2 −1) \dfrac{S_x^2/S_y^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}=\dfrac{S_x^2/\sigma_1^2}{S_y^2/\sigma_2^2}\sim{F(n_1-1,n_2-1)}

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