微积分基础知识：泰勒公式

泰勒展开式

泰勒展开式是数学中极其强大的函数近似工具。利用函数某个点的导数，来近似这个点附近的函数值。

意义：用一个nnn次多项式来近似函数f(x)f(x)f(x)在aaa点附近的部分。

1. nnn阶泰勒公式：
若f(x)f(x)f(x)有直到n+1n+1n+1的导数，则有
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)22!+...+f(n)(a)(x−a)nn!+Rn(x)\bm {f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+R_n(x) \ \ \ \ \ } f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+...+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)
其中
Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,c∈(a,x)\bm{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ c\in(a,x)}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(c)(x−a)n+1, c∈(a,x)

Rn(x)\bm{R_n(x)}Rn(x)被称为拉格朗日余项。

2. nnn阶泰勒公式的推导

我们希望让n次多项式
(1)Pn(x)=b0+b1(x−a)+b2(x−a)2+...+bn(x−a)n\bm{P_n(x)=b_0+b_1(x-a)+b_2(x-a)^2+...+b_n(x-a)^n \tag{1}}Pn(x)=b0+b1(x−a)+b2(x−a)2+...+bn(x−a)n(1)
能够近似函数f(x)f(x)f(x)在点aaa附近的部分。
对Pn(x)P_n(x)Pn(x)求各阶导数，有
Pn′(x)=b1+2b2(x−a)+...+nbn(x−a)n−1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_n'(x)=b_1+2b_2(x-a)+...+nb_n(x-a)^{n-1} Pn′(x)=b1+2b2(x−a)+...+nbn(x−a)n−1

Pn′′(x)=2!b2+...+n(n−1)bn(x−a)n−2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_n''(x)=2!b_2+...+n(n-1)b_n(x-a)^{n-2} Pn′′(x)=2!b2+...+n(n−1)bn(x−a)n−2
...\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... ...

Pn(n)(x)=n!bn\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P^{(n)}_n(x)=n!b_n Pn(n)(x)=n!bn

让Pn(x)P_n(x)Pn(x)满足以下条件：
  (1) 当x=ax=ax=a，该多项式的值和f(x)f(x)f(x)的函数值相等，则
f(a)=Pn(a)=b0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(a)=\textcolor{green}{P_n(a)=b_0}          f(a)=Pn(a)=b0
  (2) 当x=ax=ax=a，该多项式的各阶导数值和f(x)f(x)f(x)的各阶导数值相等，则
f′(a)=Pn′(a)=b1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(a)=\textcolor{green}{P_n'(a)=b_1}          f′(a)=Pn′(a)=b1

f′′(a)=Pn′′(a)=2!b2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f''(a)=\textcolor{green}{P_n''(a)=2!b_2}          f′′(a)=Pn′′(a)=2!b2
...\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...          ...
f(n)(a)=Pn(n)(a)=n!bn\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f^{(n)}(a)=\textcolor{green}{P_n^{(n)}(a)=n!b_n}          f(n)(a)=Pn(n)(a)=n!bn

即得
b0=f(a),b1=f′(a),b2=f′′(a)2!,...bn=f(n)(a)n!b_0=f(a), b_1=f'(a), b_2=\frac{f''(a)}{2!},...b_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}b0=f(a),b1=f′(a),b2=2!f′′(a),...bn=n!f(n)(a)
代入到公式(1)，则有
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)22!+...+f(n)(a)(x−a)nn!+Rn(x)\bm {f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+R_n(x) \ \ \ \ \ } f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+...+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)

3. 用微分中值定理证明拉格朗日余项：
构造一个函数g(t)g(t)g(t)：
g(t)=f(x)−f(t)−f′(t)(x−t)−f′′(t)(x−t)22!−...−f(n)(t)(x−t)nn!−Rn(x)(x−t)n+1(x−a)n+1g(t)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)-f''(t)\frac{(x-t)^2}{2!}-...-f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}-R_n(x)\frac{(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}} g(t)=f(x)−f(t)−f′(t)(x−t)−f′′(t)2!(x−t)2−...−f(n)(t)n!(x−t)n−Rn(x)(x−a)n+1(x−t)n+1
则有
g(x)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=0 g(x)=0
g(a)=Rn−Rn=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(a)=R_n-R_n=0 g(a)=Rn−Rn=0
对g(t)g(t)g(t)求导有

g′(t)=−f′(t)−[f′(t)(−1)+f′′(t)(x−t)]−[f′′(t)(x−t)(−1)+f′′′(t)(x−t)22!]−...−[f(n)(t)(x−t)n−1(n−1)!(−1)+f(n+1)(t)(x−t)nn!]+Rn(x)(n+1)(x−t)n(x−a)n+1g'(t)=\textcolor{red}{-f'(t)}-[\textcolor{red}{f'(t)(-1)}+\textcolor{darkorange}{f''(t)(x-t)}]-[\textcolor{darkorange}{f''(t)(x-t)(-1)}+\textcolor{blue}{f'''(t)\frac{(x-t)^2}{2!}}]-...\\ -[\textcolor{blue}{f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}(-1)}+f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}]+R_n(x)\frac{(n+1)(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}}g′(t)=−f′(t)−[f′(t)(−1)+f′′(t)(x−t)]−[f′′(t)(x−t)(−1)+f′′′(t)2!(x−t)2]−...−[f(n)(t)(n−1)!(x−t)n−1(−1)+f(n+1)(t)n!(x−t)n]+Rn(x)(x−a)n+1(n+1)(x−t)n
相邻两项相互抵消，则
g′(t)=−f(n+1)(t)(x−t)nn!+Rn(x)(n+1)(x−t)n(x−a)n+1g'(t)=-f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}} g′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n+Rn(x)(x−a)n+1(n+1)(x−t)n
根据罗尔定理，存在c∈(a,x)c\in(a,x)c∈(a,x)，使得g′(c)=0g'(c)=0g′(c)=0，则
g′(c)=−f(n+1)(c)(x−c)nn!+Rn(x)(n+1)(x−c)n(x−a)n+1=0g'(c)=-f^{(n+1)}(c)\frac{(x-c)^n}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}}=0 g′(c)=−f(n+1)(c)n!(x−c)n+Rn(x)(x−a)n+1(n+1)(x−c)n=0
两边同时除以(x−c)n(x-c)^n(x−c)n，得
−(f(n+1)(c)n!+Rn(x)(n+1)(x−a)n+1=0-\frac{(f^{(n+1)}(c)}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)}{(x-a)^{n+1}}=0 −n!(f(n+1)(c)+Rn(x)(x−a)n+1(n+1)=0
所以
Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,c∈(a,x)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ c\in(a,x)Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(c)(x−a)n+1, c∈(a,x)

参考资料：
1.《高等数学》第六版（上册）.高等教育出版社, 2007, p. 275–282.
2. https://www.youtube.com/watch?v=NZBvVkGn8CU

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