[codeforces 1327E] Count The Blocks 打表找规律+根据规律找公式+优化公式

Educational Codeforces Round 84 (Rated for Div. 2) 比赛人数13522

[codeforces 1327E] Count The Blocks 打表找规律+根据规律找公式+优化公式

总目录详见https://blog.csdn.net/mrcrack/article/details/103564004

在线测评地址https://codeforces.ml/contest/1327/problem/E

Problem	Lang	Verdict	Time	Memory
E - Count The Blocks	GNU C++11	Accepted	78 ms	6100 KB

首次能在赛后独立AC掉E题，可喜可贺。

以下为AC代码，若读者看不懂，请慢慢看代码的由来

#include <stdio.h>
#define maxn 200010
#define LL long long
#define mod 998244353
LL a[maxn],pow[maxn],sum[maxn],A[maxn];
int main(){int n,i,j;scanf("%d",&n);pow[0]=1;for(i=1;i<=n;i++)pow[i]=pow[i-1]*10%mod;a[1]=10,sum[1]=10,A[1]=0;for(i=2;i<=n;i++){a[i]=i*pow[i]%mod;a[i]=((a[i]-sum[i-1]*i+A[i-1])%mod+mod)%mod;sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%mod,A[i]=(A[i-1]+a[i]*(i-1)%mod)%mod;}for(i=n;i>=2;i--)printf("%lld ",a[i]);printf("%lld\n",a[1]);return 0;
}

拿到题目，想着就是排列组合的问题，n=1,n=2一想就通，n=3,n=4,已经想不清楚了，成千上万的数据啊

没辙，而且空想的规律未必对，采用暴力打表，先看看数据是怎么样的，再从排列组合入手。

以下为打表代码

#include <stdio.h>
#define LL long long
LL cnt[15],l,r;//cnt[1]长度为1的块的数量，cnt[2]长度为2的块的数量
int n,st[15],a[15];
void count(int x){//统计x中不同块的数量int top=0,tot=1,i;while(x){//将x中，每一位上的数字取出st[++top]=x%10;x/=10;  }for(i=1;i<=n;i++)a[i]=0;//将n位数字，先设置为0a[n+1]=-1;//边界设置for(i=1;i<=top;i++)a[i]=st[i];//将分解出来的数字，复制到数组a中for(i=2;i<=n+1;i++)if(a[i]!=a[i-1]){cnt[tot]++;//统计x中不同块的数量tot=1;}else tot++;
}
int main(){int i;scanf("%d",&n);l=0,r=1;for(i=1;i<=n;i++)r=r*10;r--;//数值范围的有边界。for(i=0;i<=r;i++)count(i);for(i=1;i<n;i++)printf("%lld ",cnt[i]);printf("%lld\n",cnt[n]);return 0;
}

由打表代码获得的几组关键数据如下

1
102
180 103
2610 180 104
34200 2610 180 105
423000 34200 2610 180 106
5040000 423000 34200 2610 180 107
58500000 5040000 423000 34200 2610 180 108
666000000 58500000 5040000 423000 34200 2610 180 10

有了上面的数据，发现规律已经很明显了，都不用上排列组合，已经可以直接上手代码了，一开始想编O(n)代码，编不出，那就先编能满足上述数据规律的代码吧，编好后一看，是O(n^2)的代码，代码如下

#include <stdio.h>
#define maxn 200010
#define LL long long
#define mod 998244353
LL a[maxn],pow[maxn],sum[maxn];
int main(){int n,i,j;scanf("%d",&n);pow[0]=1;for(i=1;i<=n;i++)pow[i]=pow[i-1]*10%mod;a[1]=10;for(i=2;i<=n;i++){a[i]=i*pow[i]%mod;for(j=1;j<i;j++)a[i]=((a[i]-a[j]*(i-j+1)%mod)%mod+mod)%mod;}for(i=n;i>=2;i--)printf("%lld ",a[i]);printf("%lld\n",a[1]);return 0;
}

若看不懂代码，请看数据模拟如下

1
102
180 1000,01,02,......,97,98,99有100个数据，每个数据包含2个数字，总的数字个数是2*100
00,11,22,33,44,55,66,77,88,99有10个数据，每个数据包含2个数字，总的数字个数是10*2容斥原理180=2*100-10*23
2610 180 102610=3*1000-180*2-10*34
34200 2610 180 1034200=4*10000-2610*2-180*3-10*4

对公式进行优化

for(j=1;j<i;j++)a[i]=((a[i]-a[j]*(i-j+1)%mod)%mod+mod)%mod;可简化为for(j=1;j<i;j++)a[i]-a[j]*(i-j+1)计算其中的部分公式
for(j=1;j<i;j++)a[j]*(i-j+1)以i=4为例
for(j=1;j<4;j++)a[j]*(4-j+1)
可以拆成
for(j=1;j<4;j++)a[j]*4-a[j]*(j-1)a[j]*4
a[1]*4+a[2]*4+a[3]*4=(a[1]+a[2]+a[3])*4=sum[3]*4   令sum[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]a[j]*(j-1)
a[1]*0+a[2]*1+a[3]*2=A[3]

以下为AC代码

#include <stdio.h>
#define maxn 200010
#define LL long long
#define mod 998244353
LL a[maxn],pow[maxn],sum[maxn],A[maxn];
int main(){int n,i,j;scanf("%d",&n);pow[0]=1;for(i=1;i<=n;i++)pow[i]=pow[i-1]*10%mod;a[1]=10,sum[1]=10,A[1]=0;for(i=2;i<=n;i++){a[i]=i*pow[i]%mod;a[i]=((a[i]-sum[i-1]*i+A[i-1])%mod+mod)%mod;sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%mod,A[i]=(A[i-1]+a[i]*(i-1)%mod)%mod;}for(i=n;i>=2;i--)printf("%lld ",a[i]);printf("%lld\n",a[1]);return 0;
}

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