回溯算法总结（java）
2024-04-07 22:52:14
回溯算法
- 回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
- 回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。
- 回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成，提高了效率。
- 回溯算法一般都采用递归实现。回溯利用递归的性质，从问题的起始点出发，不断地进行尝试，回头一步甚至多步再做选择，直到最终抵达终点。
回溯解题模板
function backtrack(n, used) {// 判断输入或者状态是否非法if (input/state is invalid) {return;}// 判读递归是否应当结束，满足结束条件就返回结果if (match condition) {return some value;}// 遍历当前所有可能出现的情况，并尝试每一种情况for (all possible cases) {// 如果上一步尝试会影响下一步尝试，需要写入状态used.push(case)// 递归进行下一步尝试，搜索该子树result = backtrack(n + 1, used)// 在这种情况下已经尝试完毕，重置状态，以便于下面的回溯尝试used.pop(case)}
}
经典问题
leetcode17. 电话号码的字母组合
class Solution {private List<String> res = new ArrayList<>();private final String[] letterMap = new String[]{"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};public List<String> letterCombinations(String digits) {if (digits.length() == 0) {return res;}findCombination(digits, 0, "");return res;}private void findCombination(String digits, int index, String s){if(index == digits.length()){res.add(s);return;}Character c = digits.charAt(index);String letters = letterMap[c - '0'];for(int i = 0 ; i < letters.length() ; i ++){findCombination(digits, index+1, s + letters.charAt(i));}return;}
}
leetcode46. 全排列
public class Solution {private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {if (nums.length == 0) {return res;}boolean[] used = new boolean[nums.length];List<Integer> list = new ArrayList<>();backtrack(nums, 0, list, used);return res;}public void backtrack(int[] nums, int index, List<Integer> list, boolean[] used) {if (index == nums.length) {res.add(new ArrayList<>(list));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (!used[i]) {list.add(nums[i]);used[i] = true;backtrack(nums, index + 1, list, used);list.remove(list.size() - 1);used[i] = false;}}}
}
leetcode51. N皇后
class Solution {public List<List<String>> res = new ArrayList<>();public List<List<String>> solveNQueens(int n) {int[] cols = new int[n];for (int i=0; i<n; i++) {cols[i] = -1;}backtrack(0, n, cols);return res;}public void backtrack(int index, int n, int[] cols) {if (index == n) {res.add(locToList(cols));return;}for (int i=0; i<n; i++) {cols[index] = i;if (isSafe(cols, index)) {backtrack(index+1, n, cols);}cols[index] = -1;}}public boolean isSafe(int[] cols, int index) {for (int i=0; i<index; i++) {if (cols[i] == cols[index] || i+cols[i] == index+cols[index] || i-cols[i] == index-cols[index]) {return false;}}return true;}public List<String> locToList(int[] cols) {ArrayList<String> list = new ArrayList<>();for (int i=0; i<cols.length; i++) {StringBuilder sb = new StringBuilder();for (int j=0; j<cols[i]; j++){sb.append(".");}sb.append("Q");for (int j=cols[i]+1; j<cols.length; j++){sb.append(".");}list.add(sb.toString());}return list;}
}
其他
递归与迭代
- 计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。其中穷举的代码形式上有两种：递归和迭代
- 重复调用函数自身实现循环称为递归。递归是用栈机制实现的，每深入一层，都要占去一块栈数据区域，所以有可能导致堆栈溢出的错误。思想简单，代码简洁，将问题交给计算机
- 利用变量的原值推出新值称为迭代，或着说迭代是函数内某段代码实现循环。由于递归容易导致堆栈溢出，并且递归比迭代效率要低，所以尽量使用迭代
- 递归是一个树结构，迭代是一个环结构
递归与递推
- 递归是自顶向下（对应函数入栈），又自底向上（对应函数出栈）。可以在自顶向下的时候进行操作，也可以在自底向上的时候进行操作。
- 递推是自底向上
两种实现形式
- 状态记录回溯
- 交换回溯
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