概率分布之二项分布、泊松分布

1.概率分布
概率分布是指事件的不同结果对应的发生概率所构成的分布，可以利用二维坐标进行形象地解释。如下图所示，两幅图的横轴代表的都是事件所有的可能结果，纵轴则是不同结果所对应的发生概率或概率密度。

2.离散型概率分布——二项分布
在现实生活中，许多事件或结果只有两个，或者结果只有一个是我们想要，其他不是我们想要的。例如，买了福利彩票，有中奖和不中奖两种结果；抛掷一个硬币的结果只有正面或反面；考驾照的结果是考过或不过等。我们把这种只有两种结果的概率分布叫做二项分布。二项分布有以下特点：
（1）每次试验只有两种可能的结果：“成功”与“失败”，两个结果只会出现一个；
（2）每次试验前，如果“成功”的概率是p，那么“失败”的概率就是（1-p）；
（3）每次试验相互独立，每次试验结果不受其他各次试验结果的影响。
如果“成功”的概率为p，那么“失败”的概率q=（1-p）。进行n次伯努利试验，成功了x次，失败的次数则为n-x，发生这种情况的概率可以用下面的公式表示：

这就是二项分布的质量函数，从公式可以知道，概率值主要由实验次数n和“成功”概率p决定。可以将二项分布的概率质量函数表示为x～B（n，p）。
将n次伯努利试验分别看作X1、X2、X3、…、Xn单独试验，而每次试验的结果的均值和方差分别为：

则n次伯努利试验中的X1、X2、X3、…、Xn单独试验的均值和方差分别为：

则可证明二项分布的均值和方差分别为：

3.离散型概率分布——泊松分布
泊松概率分布通俗的解释为：基于过去某个随机事件在某段时间或某个空间内发生的平均次数，预测该随机事件在未来同样长的时间或同样大的空间内发生n次的概率。

泊松分布一般用于商品较昂贵的商品库存控制。

假设某随机事件在某一单位时间内发生的平均数为λ，可以将这段时间分成n等份，那么在每等份时间内发生该随机事件的概率为λ/n，如果n趋于无穷，也就是每段时间划分的非常小，那么λ/n也会趋向为0，也就是在每个等份时间内，发生该随机事件的概率几乎不可能的。根据这种假设条件，在每等份时间里其实就是出现两种结果，即该随机事件发生和不发生，是不是很眼熟，没错就是之前提到的二项分布，那么在这段时间内，发生该随机事件的次数为K次的概率即服从服从二项分布，则该事件发生K次的概率为：

当n→∞时，

将以上推导结果代入二项分布的概率质量函数中，二项分布概率质量函数就变换成了泊松分布的概率质量函数：

则泊松分布的均值和方差值为：

本次暂时只写二项分布和泊松分布，连续分布还在学校中。

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