文章目录

实验1-误差传播与算法稳定性
- 问题提出
- 实验内容
- 实验要求
- 程序
- 运行程序
- 理论
实验2-多项式插值的震荡和样条插值的收敛
- 问题提出
- 实验内容
- 实验要求
- 程序
- 运行程序
总结

实验1-误差传播与算法稳定性

问题提出

考虑一个简单的由积分定义的序列
∫ 0 1 x n e x − 1 d x ， n = 1 , 2 , … … \int_{0}^{1}x^ne^{x-1}dx，n=1,2,…… ∫01xnex−1dx，n=1,2,…… ————式（1）
显然 E n > 0 ( n = 1 , 2 , … … ) E_n>0(n=1,2,……) En>0(n=1,2,……)，当n=1时，利用分部积分得
E 1 = 1 / e E_1=1/e E1=1/e
而对于n≥2，经分部积分可得
E n = ∫ 0 1 x n e x − 1 d x = x n e x − 1 ∣ 0 1 − ∫ 0 1 n x n − 1 e n − 1 d s ， n = 1 , 2 , … … E_n=\int_{0}^{1}x^ne^{x-1}dx=x^ne^{x-1}|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}nx^{n-1}e^{n-1}ds，n=1,2,…… En=∫01xnex−1dx=xnex−1∣01−∫01nxn−1en−1ds，n=1,2,……
也就是
E n = 1 − n E n − 1 ， n = 2 , 3 , … … E_n=1-nE_{n-1}，n=2,3,…… En=1−nEn−1，n=2,3,……————式（2）
而再由式（1），可得
E n = ∫ 0 1 x n e x − 1 d x ≤ ∫ 0 1 x n d x = 1 / ( n + 1 ) E_n=\int_{0}^{1}x^ne^{x-1}dx≤\int_{0}^{1}x^ndx=1/(n+1) En=∫01xnex−1dx≤∫01xndx=1/(n+1) ————式（3）

实验内容

由递推关系式（2）可以得到积分序列 { E n } \{E_n\} {En}的两种算法。
算法一：式（2）的直接应用，即
E 1 = 1 / e ， E n = 1 − n E n − 1 ， n = 1 , 2 , … … E_1=1/e，E_n=1-nE_{n-1}，n=1,2,…… E1=1/e，En=1−nEn−1，n=1,2,……
算法二：利用式（2）变形得到 E N = 0 E_N=0 EN=0
E n − 1 = 1 − E n n ， n = N − 1 , N − 2 , … … , 3 , 2 E_{n-1}={1-E_n \over n}，n=N-1,N-2,……,3,2 En−1=n1−En，n=N−1,N−2,……,3,2

实验要求

从程序观察两种算法的稳定性，再从理论验证。

程序

function f2
%编写算法1和算法2的运行程序，得出序列值和误差
%绘图比较两种算法
Step=str2num(char(inputdlg('输入迭代步数n，要求n大于等于1','步数')));
if Step<1errordlg('输入迭代步数n，要求n大于等于1');return
end
Sd=str2num(char(inputdlg('输入有效数字','有效数字')));
format long;%用库函数integral计算
for n=1:Stepfun=@(x)x.^n.*exp(x-1);func(n)=integral(fun,0,1);
end%算法一
digits(Sd);
func1(1)=vpa(1/exp(1));
for n=2:Stepfunc1(n)=vpa(1-n*func1(n-1));
end
err1=abs(func1-func);%算法二
digits(Sd);
func2(Step)=0;
for n=Step:-1:2func2(n-1)=vpa((1-func2(n)/n));
end
err2=abs(func2-func);clf
subplot(1,2,1)
plot([1:Step],func,'b-');
hold on
plot([1:Step],func1,'g-');
grid on
hold on
plot([1:Step],func2,'r--');
xlabel('n');ylabel('En');
text(2,func1(2),'func1');text(4,func2(4),'func2');text(1,func2(1),'func');subplot(1,2,2)
plot([1:Step],err1,'-');
grid on
hold on
plot([1:Step],err2,'r--');
text(2,err1(2),'err1');text(4,err2(4),'err2');
xlabel('n');ylabel('Err');

运行程序

当迭代步数为10，有效数字为7时

当迭代步数为50，有效数字为7时

可见，迭代次数比较小时，算法一的误差波动比较大。当迭代次数比较大时，算法一的误差会越大。相比下，算法二更为稳定。

理论

设算法一的 E 1 E_1 E1的误差为 e 1 e_1 e1，则 E n E_n En的误差为
e ( E n ) = e ( 1 − n E n − 1 ) = n e ( E n − 1 ) = … … = n n − 1 e ( E 1 ) = n n − 1 e 1 e(E_n)=e(1-nE_{n-1})=ne(E_{n-1})=……=n^{n-1}e(E_1)=n^{n-1}e_1 e(En)=e(1−nEn−1)=ne(En−1)=……=nn−1e(E1)=nn−1e1
设算法一的 E N E_N EN的误差为 ε N ε _N εN，由 E N E_N EN向前递推得到的 E n E_n En的误差为 ε n ε _n εn
ε ( E n − 1 ) = ε ( 1 − E n n ) = ε ( E n ) n = ε ( n ) n ， ε (E_{n-1})=ε({1-E_n \over n})={ε(E_n)\over n}={ε(n)\over n}， ε(En−1)=ε(n1−En)=nε(En)=nε(n)，

明显可见，当n越大，算法一的误差越大，而相反算法二的误差越小。

实验2-多项式插值的震荡和样条插值的收敛

问题提出

考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数越高。那么，当插值多项式的次数增加时，插值多项式是否也更加逼近函数呢？下面给出一个例子模拟Runge震荡现象。同时也对比样条插值的收敛情况。

实验内容

设区间[-5,5]上函数
f ( x ) = 1 1 + 25 x 2 f(x)={1\over{1+25x^2}} f(x)=1+25x21
在区间上做等距划分，分点为
x i = − 1 + 2 i n ， i = 0 , 1 , 2 , … … , n x_i=-1+{2i\over n}，i=0,1,2,……,n xi=−1+n2i，i=0,1,2,……,n
则拉格朗日多项式为
L n ( x ) = ∑ i = o n 1 1 + 25 x i 2 l i ( x ) L_n(x)=\sum_{i=o}^{n}{1\over 1+25x_i^2}l_i(x) Ln(x)=∑i=on1+25xi21li(x)
其中， l i ( x ) , i = 1 , 2 , … … , n l_i(x),i=1,2,……,n li(x),i=1,2,……,n，是n次Lagrange插值基函数

实验要求

（1）选择不断增大的分点数数目，画出原函数 f ( x ) f(x) f(x)，插值多项式函数 L n ( x ) L_n(x) Ln(x)及3次样条插值函数在[-5,5]上的图像
（2）选择其他函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数
h ( x ) = x 1 + x 2 ， g ( x ) = a r c t a n x h(x)={x\over 1+x^2}，g(x)=arctanx h(x)=1+x2x，g(x)=arctanx
（3）样条插值最早产生于工业部门，考虑如下问题，某汽车制造商用3次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下所示

程序

（1）

function f2
%选择不同的函数和多项式次数，输出原函数、拉格朗日插值函数和三次样条插值函数的图像。n=str2num(char(inputdlg('输入插值多项式的次数N:')));
Nb=char(inputdlg('请选择函数，f(x)、g(x)、h(x)分别对应f、g、h'));
switch Nbcase 'f'func=@(x)1./(1+25*x.^2);case 'h'func=@(x)x./(1+x.^4);case 'g'func=@(x)atan(x);
end      if n<1errordlg('插值多项式的次数输入错误');return;
endx0=linspace(-5,5,n+1);
y0=feval(func,x0);
x=-5:0.1:5;
%拉格朗日插值
Lg=lagrange(x0,y0,x);
%样条插值插值
Sp=interp1(x0,y0,x,'spline');%作图
clf;
subplot(1,2,1);
fplot(func,[-5,5],'r-');
hold on;
plot(x,Lg,'b--');
xlabel('x');ylabel('y');title('拉格朗日插值');
subplot(1,2,2);
fplot(func,[-5,5],'r-');
hold on;
plot(x,Sp,'b--');
xlabel('x');ylabel('y');title('样条插值');function Lg=lagrange(x0,y0,x)
%x0为节点的x坐标
%y0为节点的y坐标
%x为插值点的x坐标if (nargin==3)%当输入参数为3个时，输出对应的插值n=length(x0);m=length(x);for i=1:ml=0;for k=1:ns=1;for j=1:nif k~=js=s*(x(i)-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endendl=l+s*y0(k);endLg(i)=l;end
elseif (nargin==2)%当输入参数为2个时，输出插值多项式syms x;n=length(x0);l=0;for k=1:ns=1;for j=1:nif k~=js=s*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endendLg=l+s*y0(k);Lg=collect(Lg);Lg = vpa(Lg,6);end
end

（2）

x0=0:10;
y0=[0.8,0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29,0.2];
x=0:0.1:10;
cs=spline(x0,y0);%当端点斜率已知时，可以用两个额外元素指定值向量 y（一个元素在起点，一个元素在终点）以定义端点斜率。
y=ppval(cs,x);%ppval计算在插值区间中各点上的样条拟合。
plot(x,y)

运行程序

（1）选择函数f(x)

显然可见，当多项式次数越高，拉格朗日插值函数在区间两段发生明显的偏离，而使用三次样条插值函数则会无限逼近原函数。
（2）

总结

提示：这里对文章进行总结：
例如：以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了pandas的使用，而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。

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