恒定电流

1. 电流密度矢量

电流是电荷定向移动而形成的。从微观上看，电流是大量带电粒子定向运动的结果。形成电流的带电粒子称为载流子。
形成电流的条件有两个：

有可以被自由移动的载流子。
维持电场强度不为零。与静电场中导体的静电平衡有本质的不同。

电流的强弱用物理量电流强度描写。电流强度定义为单位时间内通过导线某一截面上的电荷量：
I=dQdtI=\frac{dQ}{dt}I=dtdQ，单位是安培。

用电流强度不能精确描述各点的电荷运动情况，需要引入电流密度矢量精确地刻画电流的分布。

电流密度矢量的定义：电流密度矢量的方向是该点正载流子的漂移速度的方向；电流密度的大小等于通过垂直于该点漂移速度方向上的电流。
j=dIdS⊥⋅v漂⃗v漂j=\frac{dI}{dS_\perp}\cdot\frac{\vec{v_漂}}{v_漂}j=dS⊥dI⋅v漂v漂, 单位是A/m2A/m^2A/m2。

电流密度矢量j与载流子的漂移速度v漂v_漂v漂、电流I的关系：

j=qnv漂j=qnv_漂j=qnv漂
I=∫sj⋅dSI=\int_sj\cdot dSI=∫sj⋅dS
∮sj⋅dS=−dQdt\oint_{s}j\cdot dS=-\frac{dQ}{dt}∮sj⋅dS=−dtdQ
其中Q是闭合曲面内的电荷量。

∮sj⋅dS>0\oint_{s}j\cdot dS>0∮sj⋅dS>0，意味着有净的正电荷流出闭合面，闭合面内电荷量随时间减少。
∮sj⋅dS<0\oint_{s}j\cdot dS<0∮sj⋅dS<0，意味着有净的正电荷流入闭合面，闭合面内电荷量随时间增加。

式子也可以写成下面的微分形式：
∇⋅j=−∂ρ∂t\nabla\cdot j=-\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅j=−∂t∂ρ
表明电流线源于正电荷减少处，汇于正电荷增加处，在电荷不变处不中断。

2. 恒定电流

电流密度矢量j是空间和时间的函数。如果电流密度矢量和电荷密度都不变，则称该电流为恒定电流。恒定电流的一个重要的性质在于电流密度矢量对任意闭合曲面的通量（电流）横等于零。
∮sj⋅dS=0\oint_s j\cdot dS =0∮sj⋅dS=0
恒定电流的电路必须闭合。

3. 恒定电场

由于恒定电流通过任意闭合曲面的电流强度都是零，表明任意闭合曲面内的电荷总量与时间无关，即恒定电流场中的电荷分布与时间无关。不随时间变化的电荷激发的电场就是恒定电场。类似于静电场，满足高斯定理和环路定理。
∮LE⋅dl=0\oint _LE\cdot dl=0∮LE⋅dl=0，即恒定电场强度沿导体回路的环量等于零。
注意：

必须注意激发恒定电场的电荷不一定静止，可以移动，只是分布不变。
导体内恒定电场强度不等于零，导体不是等势体。
恒定电场对运动电荷要做功，恒定电场的存在总是伴随着非静电力做功。

4. 欧姆定律的微分形式

在导体内沿电流方向取长度dl，截面dS的小圆柱体，小柱体电阻为
R=dlσdSR=\frac{dl}{\sigma dS}R=σdSdl
根据j的定义式，可得j=σ⋅Ej=\sigma\cdot Ej=σ⋅E，它反映了导体内任意一点的电流密度矢量同该点的恒定电流强度之间的联系。

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