定义

辗转相除法，被称为欧几里得（Euclidean）算法，是求最大公约数的算法。

基本原理

原理

两个正整数a和b(a > b)，他们的最大公约数等于a除以b的余数和b之间的最大公约数。

证明

设 b = aq + r， (a,b) 为a， b的最大公约数
则a % (a,b) = 0; b % (a,b) = 0,
因为(a和b的约束) % (a,b) = 0,
所以 (b - aq) % (a,b) = 0
即 r % (a,b) = 0
因为a % (a,b) = 0, r % (a,b) = 0
所以(a,r) % (a,b) = 0(最大公约数一定被公约数整除）

又因为a % (a,r) = 0, r % (a,r) = 0, b = aq+r
所以 (aq + r) % (a,r) = 0
即 b % （a,r) = 0
因为 a % （a,r) = 0
b % (a,r) = 0
所以
(a,b) % (a,r) = 0
所以
(a,b) = (a,r)

算法实现

思想

a = b * q1 + r1
b = r1 * q2 + r2
r1 = r2*q3 + r3
…
rn-2 = rn-1 * qn + rn

rn-1 = 0, rn-2 即为最大公约数（
因为rn-2和0的最大公约数就是他本身rn-2，
又因为rn-2和0的最大公约数等于a和b的最大公约数，
所以rn-2即为a和b的最大公约数。

C语言实现

#include <stdio.h>
int main()
{int a;int b;scanf("%d %d", &a, &b);int u, v;u = a, v = b;      while (v != 0){int tmp1 = u % v;u = v;v = tmp1;}printf("%d\n", u);return 0;
}

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辗转相除法详解(C语言实现)

辗转相除法

定义

基本原理

原理

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C语言实现

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