【最短路径树】 [USACO09JAN]Safe Travel G

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CSDN 最近 LaTeX\LaTeXLATEX 渲染的真的好丑啊，看不下去了，最近只在 CSDN 上发一点公式不那么多的题解了，式子多的我得等 CSDN 这玩意好了再交吧，目前是有一道四边形不等式的/kel

题目大意

给定一张有 nnn 个节点，mmm 条边的无向图，对于任意的 iii（2⩽i⩽n2\leqslant i\leqslant n2⩽i⩽n），请求出在不经过原来 111 节点到 iii 节点最短路上最后一条边的前提下，111 节点到 iii 节点的最短路。

特别地，保证 111 到任何一个点 iii 的最短路都是唯一的。

数据范围 n⩽2×105,m⩽5×105n\leqslant 2\times 10^5,m\leqslant 5\times 10^5n⩽2×105,m⩽5×105。

题解

我们先来挖掘这个题目的绝妙性质，假设我们还不知道最短路唯一这个条件有什么用。但我们发现这个“最短路最后一条边”对于每一个点来说是唯一的，一个点只能对应一条边，一条边也只能对应一个点。证明的话手玩一下就知道不可能存在一条边他既是 xxx 的最后一条，也是 yyy 的最后一条。

因此这个性质告诉我们，这些边组成的一定会是一棵树（不是基环树是因为 111 节点没有这样的边，二是因为不可能存在一个环上所有边都是最短路的最后一条边，也是手玩一下）。我们考虑这个边是怎么求出来的，在最短路中我们不断地去松弛一个节点，如果不能松弛了则这条边就是这个节点最短路上的一条边，而且一定会是最后一条边。

这说明一件事，我们建出来的树显然是一棵最短路径树。这完美的契合了题目最短路唯一的性质，这样建出来的最短路径树也是唯一的。

自己造的板子/kel

接下来我们考虑删除最短路径树上点 xxx 连向他父亲的边。可以证明，假设删除后的最短路有 nnn 条边，那么其中 n−1n-1n−1 条边都一定在最短路径树上，只有一条边是非树边。而且，删除那条边后，这棵树被分成了两个连通块，非树边一定是连通了这两个连通块的。

分割开的连通块有一个是以 xxx 为根节点的，我们令这棵树上一个子节点为 yyy，另一个连通块上一个点为 zzz。令 disidis_idisi 表示原图中 111 到 iii 的最短路，由于最短路径树一个优美的性质，这个最短路等于最短路径树上 111 到 iii 的距离（一眼的，根据定义的）。那么删除边后 xxx 的最短路会被表示为 disz+az→y+disy−disxdis_z+a_{z\to y}+dis_y-dis_xdisz+az→y+disy−disx。经过一点简单观察发现显然 disxdis_xdisx 是固定的，因为我们枚举了 xxx，所以我们只需要找到一个最小的 disz+az→y+disydis_z+a_{z\to y}+dis_ydisz+az→y+disy 即可。

接下来有许多解法：

类并查集解法。考虑这个最小的 disz+az→y+disydis_z+a_{z\to y}+dis_ydisz+az→y+disy 可能对多少 xxx 造成贡献。答案是 y→LCA⁡(y,z)y\to \operatorname{LCA}(y,z)y→LCA(y,z) 与 z→LCA⁡(y,z)z\to\operatorname{LCA}(y,z)z→LCA(y,z) 上的所有点。显然如果不在这条范围上，zzz 就不可能位于别的连通块。但是很显然排序后一个点只会被更新一次，更新完了就是最优的，所以我们用一种类似跳 LCA 的做法，修改并查集，即可得到答案。
树剖解法。不用排序了，直接插，更加暴力/hanx

总时间复杂度 O((m+n)log⁡n)\mathcal{O}((m+n)\log n)O((m+n)logn)，复杂度瓶颈在排序和 dijkstra 上。

这玩意卡 SPFA，不知道为什么很多最短路径树的题目都喜欢卡 SPFA/lh

代码

int head[N],cnt,dep[N],ans[N],dis[N],vis[N],now[N],tot,n,m;
struct node{int x,y,z;}f[N],p[N];
void add(int x,int y,int z){a[++cnt].to=y;a[cnt].nxt=head[x];a[cnt].l=z;head[x]=cnt;
}
void get_ans(int x,int y,int z){if(x==y) return;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);if(!ans[x]) ans[x]=z-dis[x];get_ans(now[x],y,z);
}
void dijkstra(){for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf,vis[i]=false;dis[1]=0;priority_queue<pair<int,int> > q;q.push(make_pair(0,1));while(!q.empty()){int x=q.top().sec;q.pop();if(vis[x]) continue;vis[x]=true;for(register int i=head[x];i;i=a[i].nxt){int y=a[i].to;if(dis[y]>dis[x]+a[i].l){now[y]=x;dis[y]=dis[x]+a[i].l;if(!vis[y]) q.push(make_pair(-dis[y],y));}}}
}
int find(int x){if(dep[x]) return dep[x];return dep[x]=find(now[x])+1;
}
bool cmp(node x,node y){return x.z<y.z;}
signed main(){n=read(),m=read();now[1]=1,dep[1]=1;for(register int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),z=read();add(x,y,z);add(y,x,z);f[i]=(node){x,y,z};}dijkstra();for(register int i=1;i<=n;i++) dep[i]=find(i);for(register int i=1;i<=m;i++){if(dis[f[i].x]>dis[f[i].y]) swap(f[i].x,f[i].y);if(dis[f[i].x]+f[i].z==dis[f[i].y]) continue;p[++tot]=(node){f[i].x,f[i].y,dis[f[i].x]+dis[f[i].y]+f[i].z};}sort(p+1,p+tot+1,cmp);for(register int i=1;i<=tot;i++) get_ans(p[i].x,p[i].y,p[i].z);for(register int i=2;i<=n;i++){if(!ans[i]) printf("-1\n");else printf("%lld\n",ans[i]);}// retururnr 1;
}

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