Python实现回归树

转载自http://www.cnblogs.com/hemiy/p/6268123.html，http://blog.csdn.net/u011437229/article/details/53223520仅用作个人学习。

1、连续和离散型特征的树的构建
2、CART回归树
- 2.1 构建树
- 2.2 剪枝
3、模型树
4、实例：树回归与标准回归的比较

正文

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本系列文章为《机器学习实战》学习笔记，内容整理自书本，网络以及自己的理解，如有错误欢迎指正。

源码在Python3.5上测试均通过，代码及数据 --> https://github.com/Wellat/MLaction

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1、连续和离散型特征的树的构建

决策树算法主要是不断将数据切分成小数据集，直到所有目标变量完全相同，或者数据不能再切分为止。它是一种贪心算法，并不考虑能否达到全局最优。前面介绍的用ID3构建决策树的算法每次选取当前最佳的特征来分割数据，并按照该特征的所有可能取值来划分，这种切分过于迅速，且不能处理连续性特征。另外一种方法是二元切分法，每次把数据集切成两份，如果数据的某特征等于切分所要求的值，那么这些数据就进入树的左子树，反之右子树。二元切分法可处理连续型特征，节省树的构建时间。

这里依然使用字典来存储树的数据结构，该字典将包含以下4个元素：

待切分的特征
待切分的特征值
右子树，不需切分时，也可是单个值
左子树，右子树类似

本章将构建两种树：第一种是第2节的回归树（regression tree），其每个叶节点包含单个值；第二种是第3节的模型树（model tree），其每个叶节点包含一个线性方程。创建这两种树时，我们将尽量使得代码之间可以重用。下面先给出两种树构建算法中的一些共用代码。

 1 from numpy import *
 2
 3 def loadDataSet(fileName):
 4     '''
 5     读取一个一tab键为分隔符的文件，然后将每行的内容保存成一组浮点数
 6     '''
 7     dataMat = []
 8     fr = open(fileName)
 9     for line in fr.readlines():
10         curLine = line.strip().split('\t')
11         fltLine = map(float,curLine)
12         dataMat.append(fltLine)
13     return dataMat
14
15 def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
16     '''
17     数据集切分函数
18     '''
19     mat0 = dataSet[nonzero(dataSet[:,feature] > value)[0],:]
20     mat1 = dataSet[nonzero(dataSet[:,feature] <= value)[0],:]
21     return mat0,mat1
22
23 def createTree(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1,4)):
24     '''
25     树构建函数
26     leafType:建立叶节点的函数
27     errType:误差计算函数
28     ops:包含树构建所需其他参数的元组
29     '''
30     #选择最优的划分特征
31     #如果满足停止条件，将返回None和某类模型的值
32     #若构建的是回归树，该模型是一个常数；如果是模型树，其模型是一个线性方程
33     feat, val = chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
34     if feat == None: return val #
35     retTree = {}
36     retTree['spInd'] = feat
37     retTree['spVal'] = val
38     #将数据集分为两份，之后递归调用继续划分
39     lSet, rSet = binSplitDataSet(dataSet, feat, val)
40     retTree['left'] = createTree(lSet, leafType, errType, ops)
41     retTree['right'] = createTree(rSet, leafType, errType, ops)
42     return retTree

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2、CART回归树

CART（Classification And Regression Trees, 分类回归树）是十分著名的树构建算法，它使用二元切分来处理连续性变量，对其稍作修改就可处理回归问题。

2.1 构建树

①切分数据集并生成叶节点

给定某个误差计算方法，chooseBestSplit()函数会找到数据集上最佳的二元切分方式，此外，该函数还要确定什么时候停止切分，一旦停止切分会生成一个叶节点。该函数伪代码大致如下：

②计算误差

这里采用计算数据的平方误差。

Python代码：

 1 def regLeaf(dataSet):
 2     '''负责生成叶节点'''
 3     #当chooseBestSplit()函数确定不再对数据进行切分时，将调用本函数来得到叶节点的模型。
 4     #在回归树中，该模型其实就是目标变量的均值。
 5     return mean(dataSet[:,-1])
 6
 7 def regErr(dataSet):
 8     '''
 9     误差估计函数，该函数在给定的数据上计算目标变量的平方误差，这里直接调用均方差函数
10     '''
11     return var(dataSet[:,-1]) * shape(dataSet)[0]#返回总方差
12
13 def chooseBestSplit(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1,4)):
14     '''
15     用最佳方式切分数据集和生成相应的叶节点
16     '''
17     #ops为用户指定参数，用于控制函数的停止时机
18     tolS = ops[0]; tolN = ops[1]
19     #如果所有值相等则退出
20     if len(set(dataSet[:,-1].T.tolist()[0])) == 1:
21         return None, leafType(dataSet)
22     m,n = shape(dataSet)
23     S = errType(dataSet)
24     bestS = inf; bestIndex = 0; bestValue = 0
25     #在所有可能的特征及其可能取值上遍历，找到最佳的切分方式
26     #最佳切分也就是使得切分后能达到最低误差的切分
27     for featIndex in range(n-1):
28         for splitVal in set(dataSet[:,featIndex]):
29             mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal)
30             if (shape(mat0)[0] < tolN) or (shape(mat1)[0] < tolN): continue
31             newS = errType(mat0) + errType(mat1)
32             if newS < bestS:
33                 bestIndex = featIndex
34                 bestValue = splitVal
35                 bestS = newS
36     #如果误差减小不大则退出
37     if (S - bestS) < tolS:
38         return None, leafType(dataSet)
39     mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
40     #如果切分出的数据集很小则退出
41     if (shape(mat0)[0] < tolN) or (shape(mat1)[0] < tolN):
42         return None, leafType(dataSet)
43     #提前终止条件都不满足，返回切分特征和特征值
44     return bestIndex,bestValue

主要测试命令：

>>> reload(regTrees)
>>> myData = regTrees.loadDataSet('ex00.txt')
>>> myMat = mat(myData)
>>> regTrees.createTree(myMat)

【注意】本代码在Python3.5环境下测试未通过，错误发生在以上第5行-->return mean(dataSet[:,-1])

错误类型为 TypeError: unsupported operand type(s) for /: 'map' and 'int' 暂未找到解决办法。所以，以下测试结果均来自书本。

2.2 剪枝

一棵树如果节点过多，表明该模型可能对数据进行了“过拟合”。通过降低决策树的复杂度来避免过拟合的过程称为剪枝(pruning) 。

①预剪枝

在函数chooseBestSplit()中的提前终止条件，实际上是在进行一种所谓的预剪枝(prepruning)操作。树构建算法其实对输人的参数tols和tolN非常敏感，如果使用其他值将不太容易达到这么好的效果。

②后剪枝

使用后剪枝方法需要将数据集分成测试集和训练集。首先指定参数，使得构建出的树足够大、足够复杂，便于剪枝。接下来从上而下找到叶节点，用测试集来判断将这些叶节点合并是否能降低测试误差。如果是的话就合并。

Python实现代码：

 1 def prune(tree, testData):
 2     '''回归树剪枝函数'''
 3     if shape(testData)[0] == 0: return getMean(tree) #无测试数据则返回树的平均值
 4     if (isTree(tree['right']) or isTree(tree['left'])):#
 5         lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
 6     if isTree(tree['left']): tree['left'] = prune(tree['left'], lSet)
 7     if isTree(tree['right']): tree['right'] =  prune(tree['right'], rSet)
 8     #如果两个分支已经不再是子树，合并它们
 9     #具体做法是对合并前后的误差进行比较。如果合并后的误差比不合并的误差小就进行合并操作，反之则不合并直接返回
10     if not isTree(tree['left']) and not isTree(tree['right']):
11         lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
12         errorNoMerge = sum(power(lSet[:,-1] - tree['left'],2)) +\
13             sum(power(rSet[:,-1] - tree['right'],2))
14         treeMean = (tree['left']+tree['right'])/2.0
15         errorMerge = sum(power(testData[:,-1] - treeMean,2))
16         if errorMerge < errorNoMerge:
17             print("merging")
18             return treeMean
19         else: return tree
20
21 def isTree(obj):
22     '''判断输入变量是否是一棵树'''
23     return (type(obj).__name__=='dict')
24
25 def getMean(tree):
26     '''从上往下遍历树直到叶节点为止，计算它们的平均值'''
27     if isTree(tree['right']): tree['right'] = getMean(tree['right'])
28     if isTree(tree['left']): tree['left'] = getMean(tree['left'])
29     return (tree['left']+tree['right'])/2.0

测试命令：

reload(regTrees)
myData2 = regTrees.loadDataSet('ex2.txt')
myMat2 = mat(myData2)
from numpy import *
myMat2 = mat(myData2)
regTrees.createTree(myMat2)
myTree = regTrees.createTree(myMat2, ops=(0,1))
myDataTest = regTrees.loadDataSet('ex2test.txt')
myMat2Test = mat(myDataTest)
regTrees.prune(myTree, myMat2Test)

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3、模型树

①叶节点

用树建模，除了把叶节点简单地设定为常数值外，还可把叶节点设定为分段线性函数，这里的分段线性是指模型由多个线性片段组成。

如下图所示数据，如果使用两条直线拟合是否比使用一组常数来建模好呢？答案显而易见。可以设计两条分别从0.0~0.3、从0.3~1.0的直线，于是就可以得到两个线性模型。因为数据集里的一部分数据(0.0~0.3)以某个线性模型建模，而另一部分数据(0.3~1.0)则以另一个线性模型建模，因此我们说采用了所谓的分段线性模型。

②误差计算

前面用于回归树的误差计算方法这里不能再用。稍加变化，对于给定的数据集，先用线性的模型来对它进行拟合，然后计算真实的目标值与模型预测值间的差值。最后将这些差值的平方求和就得到了所需的误差。

与回归树不同，模型树Python代码有以下变化：

 1 def linearSolve(dataSet):
 2     '''将数据集格式化成目标变量Y和自变量X，X、Y用于执行简单线性回归'''
 3     m,n = shape(dataSet)
 4     X = mat(ones((m,n))); Y = mat(ones((m,1)))
 5     X[:,1:n] = dataSet[:,0:n-1]; Y = dataSet[:,-1]#默认最后一列为Y
 6     xTx = X.T*X
 7     #若矩阵的逆不存在，抛异常
 8     if linalg.det(xTx) == 0.0:
 9         raise NameError('This matrix is singular, cannot do inverse,\n\
10         try increasing the second value of ops')
11     ws = xTx.I * (X.T * Y)#回归系数
12     return ws,X,Y
13
14 def modelLeaf(dataSet):
15     '''负责生成叶节点模型'''
16     ws,X,Y = linearSolve(dataSet)
17     return ws
18
19 def modelErr(dataSet):
20     '''误差计算函数'''
21     ws,X,Y = linearSolve(dataSet)
22     yHat = X * ws
23     return sum(power(Y - yHat,2))

测试命令：

>>> regTrees.createTree(myMat,regTrees.modelLeaf,regTrees.modelErr.(1,10))

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4、实例：树回归与标准回归的比较

前面介绍了模型树、回归树和一般的回归方法，下面测试一下哪个模型最好。这些模型将在某个数据上进行测试，该数据涉及人的智力水平和自行车的速度的关系。

 1 def createForeCast(tree, testData, modelEval=regTreeEval):
 2     # 多次调用treeForeCast()函数，以向量形式返回预测值，在整个测试集进行预测非常有用
 3     m=len(testData)
 4     yHat = mat(zeros((m,1)))
 5     for i in range(m):
 6         yHat[i,0] = treeForeCast(tree, mat(testData[i]), modelEval)
 7     return yHat
 8
 9 def treeForeCast(tree, inData, modelEval=regTreeEval):
10     '''
11     # 在给定树结构的情况下，对于单个数据点，该函数会给出一个预测值。
12     # modeEval是对叶节点进行预测的函数引用，指定树的类型，以便在叶节点上调用合适的模型。
13     # 此函数自顶向下遍历整棵树，直到命中叶节点为止，一旦到达叶节点，它就会在输入数据上
14     # 调用modelEval()函数，该函数的默认值为regTreeEval()
15     '''
16     if not isTree(tree): return modelEval(tree, inData)
17     if inData[tree['spInd']] > tree['spVal']:
18         if isTree(tree['left']): return treeForeCast(tree['left'], inData, modelEval)
19         else: return modelEval(tree['left'], inData)
20     else:
21         if isTree(tree['right']): return treeForeCast(tree['right'], inData, modelEval)
22         else: return modelEval(tree['right'], inData)
23
24 def regTreeEval(model, inDat):
25     #为了和modeTreeEval()保持一致，保留两个输入参数
26     return float(model)
27
28 def modelTreeEval(model, inDat):
29     #对输入数据进行格式化处理，在原数据矩阵上增加第0列，元素的值都是1
30     n = shape(inDat)[1]
31     X = mat(ones((1,n+1)))
32     X[:,1:n+1]=inDat
33     return float(X*model)

测试命令：

#回归树
>>> reload(regTrees)
>>> trainMat = mat(regTrees.loadDataSet('bikeSpeedVsIq_train.txt'))
>>> testMat = mat(regTrees.loadDataSet('bikeSpeedVsIq_test.txt'))
>>> myTree = regTrees.createTree(trainMat, ops=(1,20))
>>> yHat = regTrees.createForeCast(myTree, testMat[:,0])
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)
array([[ 1.        ,  0.96408523],[ 0.96408523,  1.        ]])
#模型树
>>> myTree = regTrees.createTree(trainMat, regTrees.modelLeaf, regTrees.modelErr
, (1,20))
>>> yHat = regTrees.createForeCast(myTree, testMat[:,0], regTrees.modelTreeEval)
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)[0,1]
0.97604121913806285
# 标准回归
>>> ws, X, Y = regTrees.linearSolve(trainMat)
>>> ws
matrix([[ 37.58916794],[  6.18978355]])
>>> for i in range(shape(testMat)[0]) :
...     yHat[i] = testMat[i,0]*ws[1,0] + ws[0,0]
...
>>> corrcoef(yHat, testMat[:,1], rowvar=0)[0,1]
0.94346842356747584

THE END.

回归算法原理

CART(Classification and Regression Tree)算法是目前决策树算法中最为成熟的一类算法，应用范围也比较广泛。它既可以用于分类。
西方预测理论一般都是基于回归的，CART是一种通过决策树方法实现回归的算法，它具有很多其他全局回归算法不具有的特性。
在创建回归模型时，样本的取值分为观察值和输出值两种，观察值和输出值都是连续的，不像分类函数那样有分类标签，只有根据数据集的数据特征来创建一个预测的模型，反映曲线的变化趋势。在这种情况下，原有分类树的最优划分规则就不再起作用了。在预测中，CART使用最小剩余方差（Squared Residuals Minimization）来判定回归树的最优划分，这个准则期望划分之后的子树与样本点的误差方差最小。这样决策树将数据集划分成很多子模型数据，然后利用线性回归技术来建模。如果每次切分后的数据子集仍然难以拟合，就继续切分。在这种切分方式下创建出的预测树，每个叶子节点都是一个线性回归模型。这些线性回归模型反映了样本集合（观测集合）中蕴含的模式，也被称为模型树。因此，CART不仅支持正体预测，也支持局部模式的预测，并有能力从整体中找到模式，或根据模式组合成一个整体。整体与模式之间的相互结合，对于预测分析有重要价值。因此CART决策树算法在预测中的应用非常广泛。
下面介绍CART的算法流程：
(1)决策树主函数：决策树的主函数是一个递归函数。该函数的主要功能是按照CART的规则生长出决策树的每个分支节点，并根据终止条件结束算法。
a.输入需要分类的数据集和类别标签。
b.使用最小剩余方差判定回归树的最优划分，并创建特征的划分节点——最小剩余方差子函数。
c.在划分节点划分数据集为两部分——二分数据集子函数。
d.根据二分数据的结果构建出新的左右节点，作为树生长出的两个分支。
e.检验是否符合递归的终止条件。
f.将划分的新节点包含的数据集和类别标签作为输入，递归执行上述步骤。
(2)使用最小剩余方差子函数，计算数据集各列的最优划分方差、划分列、划分值
(3)二分数据集：根据给定的分隔列和分隔值将数据集一分为二，分别返回。

最小剩余方差法

在回归树中，数据集均为连续性。连续数据的处理方法与离散数据不同，离散数据是按每个特征的取值划分，而连续特征则要计算出最优划分点。但在连续数据集上计算线性相关度非常简单，算法思想来源于最小二乘法。
最小剩余方差法，首先求取划分数据列的均值和总方差。总方差的计算方法有两种
求取均值std，计算每个数据点与std的方差，然后将n个点求和。
求取方差var，然后var_sum = var*n，n为数据集数据数目。
那么，每次最佳分支特征的选取过程如下。
(1)先令最佳方差为无限大 bestVar = inf。
(2)此次遍历所有特征列及每个特征列的所有样本点（这是一个二循环），在每个样本点上二分数据集。
(3)计算二分数据集后的总方差currentVar，如果currentVar < bestVar，则bestVar = currentVar。
返回计算的最优分支特征列、分支特征值（连续特征则为划分点的值）以及左右分支子数据集到主程序。

模型树

使用CART进行预测是把叶子节点设定为一系列的分段线性函数，这些分段线性函数是对源数据曲线的一种模拟，每个线性函数都被称为一颗模型树。模型树具有很多优秀的性质，它包含了如下特征。
一般而言，样本总体的重复性不会很高，但局部模式经常重复，也就是所说的历史不会简单的重复，但会重演。模型比总体对未来的预测而言更有用。
模型给出了数据的范围，它可能是一个时间范围，也可能是一个空间范围；而且模型还给出了变化的趋势，可以是曲线，也可以是直线，这依赖于使用的回归算法。这些因素使模型具有很强的可解释性。
传统的回归方法，无论是线性回归还是非线性回归，都不如模型树包含的信息丰富，因此模型树具有更高的预测准确度。

Scikit-Learn实现

#!/usr/bin/python
# created by lixin 20161118
import numpy as np
from numpy import *
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import matplotlib.pyplot as pltdef plotfigure(X,X_test,y,yp):plt.figure()plt.scatter(X,y,c="k",label="data")plt.plot(X_test,yp,c="r",label="max_depth=5",linewidth=2)plt.xlabel("data")plt.ylabel("target")plt.title("Decision Tree Regression")plt.legend(loc='upper right')plt.show()#plt.savefig('./res.png', format='png')x = np.linspace(-5,5,200)
siny = np.sin(x)
X = mat(x).T
y = siny + np.random.rand(1,len(siny))*1.5
y = y.tolist()[0]
clf = DecisionTreeRegressor(max_depth=4)
clf.fit(X,y)X_test = np.arange(-5.0,5.0,0.05)[:,np.newaxi
yp = clf.predict(X_test)plotfigure(X,X_test,y,yp)