【TJOJI\HEOI2016】求和
【TJOI/HEOI2016】求和
这题好难啊!!
斯特林数+NTT。
首先我们将第二类斯特林数用容斥展开,具体原理不解释了。
\(\displaystyle S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_j^k(j-k)^i=\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)。
我们交换一下\(\sum\)的顺序:
\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}S(i,j)\)。这里\(i\)从0开始枚举是没有问题的,因为\(j>i时,S(i,j)=0\)。
将斯特林数展开:
\[ \displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\ =\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \]
很容易看出,最后一个\(\sum\)是一个等比数列求和。
于是我们设\(g(i)=\frac{i^{n+1}-1}{(i-1)*i!},特别地,g(0)=1,g(1)=n+1\)。
于是\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}g(j-k)\)
我们又设\(h(i)=\frac{(-1)^i}{i!}\),则\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)是个卷积,可以用NTT来计算。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define N 200005using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}int n;
ll fac[N],inv[N];
ll ksm(ll t,ll x) {ll ans=1;for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)if(x&1) ans=ans*t%mod;return ans;
}
ll a[N<<2],b[N<<2],q[N];
const ll g=3;
ll tem[N<<2];
int rev(int x,int len) {int ans=0;for(;len;len--,x>>=1) ans=ans<<1|x&1;return ans;
}void NTT(ll *a,int x,int flag) {int n=1<<x;for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev(i,x)) swap(a[i],a[rev(i,x)]); tem[0]=1;for(int s=1;s<=x;s++) {int len=1<<s,mid=len>>1;ll w=flag==1?ksm(g,(mod-1)/len):ksm(g,mod-1-(mod-1)/len);for(int i=1;i<mid;i++) tem[i]=tem[i-1]*w%mod;for(int i=0;i<n;i+=len) {for(int j=0;j<mid;j++) {ll u=a[i+j];ll v=tem[j]*a[i+j+mid]%mod;a[i+j]=(u+v)%mod;a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;}}}if(flag==-1) {ll inv=ksm(n,mod-2);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;}
}int bl[1000];
int main() {n=Get();fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;int flag=1;for(int i=0;i<=n;i++,flag*=-1) {if(flag==1) a[i]=inv[i];else a[i]=(mod-inv[i])%mod;}q[0]=1;q[1]=n+1;for(int i=2;i<=n;i++) {q[i]=((ksm(i,n+1)-1)*ksm(i-1,mod-2)%mod+mod)%mod;}for(int i=0;i<=n;i++) b[i]=q[i]*inv[i]%mod;int x=0;for(int len=n<<2;len;len>>=1,x++);NTT(a,x,1),NTT(b,x,1);for(int i=0;i<(1<<x);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;NTT(a,x,-1);ll ans=0;ll p=1;for(int i=0;i<=n;i++) {(ans+=p*fac[i]%mod*a[i]%mod)%=mod;p=(p<<1)%mod;}cout<<ans;return 0;
}
转载于:https://www.cnblogs.com/hchhch233/p/10009226.html
【TJOJI\HEOI2016】求和相关推荐
- 【BZOJ 4555】 4555: [Tjoi2016Heoi2016]求和 (NTT)
4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 Time Limit: 40 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 315 Solved: 252 De ...
- bzoj#4555. [Tjoi2016Heoi2016]求和
bzoj#4555. [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题目描述 Solution 有一个关于第二类斯特林数的公式: {nm}=1m!∑i(mk)(m−k)n(−1)k\left\{ ...
- P5395 【模板】第二类斯特林数·行
P5395 [模板]第二类斯特林数·行 题目描述 Solution 这题是[Tjoi2016&Heoi2016]求和的前置技能啊-- 我似乎直接跳过这题,去做应用了QAQQAQQAQ. Cod ...
- Fast Fourier Transform
写在前面的.. 感觉自己是应该学点新东西了.. 所以就挖个大坑,去学FFT了.. FFT是个啥? 坑已补上.. 推荐去看黑书<算法导论>,讲的很详细 例题选讲 1.UOJ #34. 多项式 ...
- [暑假的bzoj刷水记录]
(这篇我就不信有网站来扣) 这个暑假打算刷刷题啥的 但是写博客好累啊 堆一起算了 隔一段更新一下. 7月27号之前刷的的就不写了 , 写的累 代码不贴了,可以找我要啊.. 2017.8.27upd ...
- 「实验性讲稿」载谭 Binomial Sums 详解
如 G. Pólya 在他的教育著作<怎样解题>中所说:"尽可能形式地证明我们所直观看到的,以及尽可能直观地看出我们所形式证明过的,这是一种增进智力的练习.不幸,在教学中,并不总 ...
- loj2058 「TJOI / HEOI2016」求和 NTT
loj2058 「TJOI / HEOI2016」求和 NTT 链接 loj 思路 \[S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_{j}^{k ...
- [HEOI2016/TJOI2016]求和(第二类斯特林数)
题目 [HEOI2016/TJOI2016]求和 关于斯特林数与反演的更多姿势\(\Longrightarrow\)点这里 做法 \[\begin{aligned}\\ Ans&=\sum\l ...
- 【TJOI/HEOI2016】求和
题面 题目分析 \[ \begin{split} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)\cdot 2^j\cdot j!&=\sum_{j=0}^n2^j\cdot j ...
最新文章
- 如何定位并优化慢查询Sql
- 深度学习融入博弈论的方法会迸发出哪些新思路呢?
- EFM32外设模块—USART V1.00
- ML之xgboost :xgboost.plot_importance()函数的解读
- HTML rel 属性
- enum in c language
- “一个千古绝伦的大智者”莱布尼茨
- Python 模块学习
- 搜索场 day1 A 求和
- 比 matplotlib 效率高十倍的数据可视化神器
- 游戏打不开该怎么设置计算机,驱动人生游戏修复工具,轻松解决DNF打不开的问题。...
- EASBOS获取系统状态控制期间
- simulink中对powergui的使用
- 警告: A docBase D:\apache-tomcat-8.5\webapps\webapps\projectname inside the host appBase has been
- 本人考研的时间流程图
- [ 网络协议篇 ] IGP 详解之 RIP 详解(一)
- 初创网络游戏公司运维遇到问题
- 【flink 报错】Heartbeat of TaskManager is timed out
- 奥巴马胜选演说•文言版
- 微信公众号获取access_token,报错invalid ip xxx.xxx.xxx.xxx