在DOC8168所有成型的模板里，都隐藏着这样一个事实，同一个模板里所使用的风螺旋线基础参数是相同的。比如：等待与基线模板中，入航与出航采用的是最高点的高度来考虑风速。转弯半径、偏流角在同一个模板中也都是相同的。本质上说这是为了对计算进行简化，同时又不降低安全裕度而进行的设定。在讨论风螺旋公切线算法时，可以基于这种简化的前提条件来加以分析。

Eθ分量在风螺旋中代表了风速向量的方向，而风螺旋的切线代表了地速向量的方向，二者相垂直时，风螺旋线所包含的范围最大，因此，风螺旋线的切线必然垂直于它自身的某个Eθ分量。

对于公切线来说，如果在两条风螺旋线之间存在有一条公切线，那么这条公切线必然分别垂直于两条风螺旋线中的某个Eθ分量，并且这两个Eθ分量互相平行。

　　上图中标绘了两条初始角度相差180°的风螺旋线（WS1与WS2），以及它们之间的公切线（k1k2）的位置关系。除了初始的角度不同外，两条风螺旋线采用了相同的基础参数，因此，它们具有相同的转弯半径与偏流角。

根据前述的分析，Eθ1与Eθ2同时垂直于k1k2线，由于Eθ1与对应半径r的延长线的夹角始终是DA（偏流角），因此可知，线段o1c1与线段o2c2相互平行，由于两条风螺旋线的基准半径r相同，故o1o2c2c1是一个平行四边形，线段c1c2的长度等于线段o1o2的长度。从c1点向c2k2作垂线，得到f点，线段c2f的长度就等于Eθ2减去Eθ1的长度。

在系统中添加两条风螺旋线时，它们的基准圆心点的距离是已知条件，二者初始角度的差值也是已知条件（如果某个风螺旋线初始时带有外扩距离，可将初始外扩的距离换算成角度累计起来），因此，在直角三角形fc1c2中可以计算出β的角度值。

公切线所对应的Eθ1与Eθ2长度的差别可以看作是两条风旋转线初始角度的差异所造成的。线段fk2与Eθ1长度相等，可以看作是两条风螺旋共同旋转过的角度（根据之前的分析，相同的参数旋转相同的角度，会得到相同的外扩距离）。

β=arccos((Eθ2-Eθ1)/o1o2)

β角是基于圆心点的连线o1o2计算得到的，在此基础上，只需要分别计算出风螺旋线初始角度与圆心连线角度之差，累加上DA之后可以分别得到计算切点所需的θ角。

本例中：WS1初始角度与圆心连线的夹角为零，切点k1对应的θ1 =β+DA。WS2初始角度与圆心连线的夹角为180度，故θ2 =180+β+DA。

实际中的效果图（θ1与θ2取不同的值）可以是如下图中的样子，图中未隐藏掉公切线以内的部分，看外围曲线就行了。

当Eθ1大于Eθ2时，β角是钝角，相关算法仍然成立。情况如下图所示：

　　当Eθ1等于Eθ2时，这种情况在转弯大于75°的离场、复飞中最为常见，此时，β角等于90度，切点对应的θ角等于90°+DA。（欢迎验证）

由于主区、副区可以共用同一个θ角（参考风螺旋线外扩一文），因此，在计算出一个θ角之后，相关的副区边界的切点也就可以计算得到了。

　　如果两条风螺旋线的标称转弯半径不同，偏流角不同，根据切线原理得到的四边形o1o2c2c1必然不是平行四边形，相关的计算方法需要额外的考虑，这类问题就留给数学精英们去探讨吧。

今天是2015年感恩节，分享一段自己认为是风螺旋线中最核心的算法思路给大家，感谢一直以来各位的关心与帮助，谢谢你们！

如果这里讨论的话题让你有挫折感，完全不必担心，因为这个系列的话题我也是经过近两年的龟速思考才逐渐理清的。难度是有的，但如果对你的工作有帮助，花上一些时间来读一读，一起体会一下领先于规范的感觉，还是蛮有趣的。每每想到今天的话题也许就是未来飞行程序的入门课，心里还真是有些小激动噢。

感谢大家的关注，如果经你的验证，认为这里的理论是正确的，欢迎广泛传播，如果是有错误的请直接给我留言，再次感谢！

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