【操作系统】为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 ？

一、为什么负数要用补码表示？

以 int 类型的数字作为例⼦，int 类型是 32 位的，其中最⾼位是作为「符号标志位」，正数的符号位是 0 ，负数的符号位是 1 ，剩余的 31 位则表示⼆进制数据。

那么，对于 int 类型的数字 1 的⼆进制数表示如下：

⽽负数就⽐较特殊了点，负数在计算机中是以「补码」表示的，所谓的补码就是把正数的⼆进制全部取反再加 1，⽐如 -1 的⼆进制是把数字 1 的⼆进制取反后再加 1，如下图：

那么，为什么计算机要⽤补码的⽅式来表示负数？**在回答这个问题前，我们假设不⽤补码的⽅式来表示负数，⽽只是把最⾼位的符号标志位变为 1 表示负数，如下图过程：

如果采⽤这种⽅式来表示负数的⼆进制的话，试想⼀下 -2 + 1 的运算过程，如下图：

按道理， -2 + 1 = -1 ，但是上⾯的运算过程中得到结果却是 -3 ，所可以发现，这种负数的表示⽅式是不能⽤常规的加法来计算了，就需要特殊处理，要先判断数字是否为负数，如果是负数就要把加法操作变成减法操作才可以得到正确对结果。

解答：

如果负数不是使⽤补码的⽅式表示，则在做基本对加减法运算的时候，还需要多⼀步操作来判断是否为负数，如果为负数，还得把加法反转成减法，或者把减法反转成加法，这就⾮常不好了，毕竟加减法运算在计算机⾥是很常使⽤的，所以为了性能考虑，应该要尽量简化这个运算过程。

⽽⽤了补码的表示⽅式，对于负数的加减法操作，实际上是和正数加减法操作⼀样的。你可以看到下图，⽤补码表示的负数在运算 -2 + 1 过程的时候，其结果是正确的：

二、十进制小数与⼆进制的转换

整数⼗进制转⼆进制：除2取整
⼩数⼗进制转⼆进制：乘2取整

以 8.625 转⼆进制作为例：

最后把「整数部分 + ⼩数部分」结合在⼀起后，其结果就是 1000.101 。

但是，并不是所有小数都可以⽤⼆进制表示， 前⾯提到的 0.625 ⼩数是⼀个特例，刚好通过乘 2 取整法的⽅式完整的转换成⼆进制。

如果我们⽤相同的⽅式，来把 0.1 转换成⼆进制，过程如下：

可以发现， 0.1 的⼆进制表示是⽆限循环的。

由于计算机的资源是有限的，所以是没办法⽤⼆进制精确的表示 0.1，只能⽤「近似值」来表示，就是在有限的精度情况下，最⼤化接近 0.1 的⼆进制数，于是就会造成精度缺失的情况。

对于⼆进制⼩数转⼗进制时，需要注意⼀点，⼩数点后⾯的指数幂是负数

⽐如，⼆进制 0.1 转成⼗进制就是 2^(-1) ，也就是⼗进制 0.5 ，⼆进制 0.01 转成⼗进制就是2^-2 ，也就是⼗进制 0.25 ，以此类推。
举个例⼦，⼆进制 1010.101 转⼗进制的过程，如下图：

三、计算机是怎么存小数的？

计算机存储⼩数的采⽤的是浮点数，名字⾥的「浮点」表示⼩数点是可以浮动的。
⽐如 1000.101 这个⼆进制数，可以表示成 1.000101 x 2^3 ，类似于数学上的科学记数法。

如果⼆进制要⽤到科学记数法，同时要规范化，那么不仅要保证基数为 2，还要保证⼩数点左侧只有 1 位，⽽且必须为 1。

所以通常将 1000.101 这种⼆进制数，规格化表示成 1.000101 x 2^3 ，其中，最为关键的是 000101 和3 这两个东⻄，它就可以包含了这个⼆进制⼩数的所有信息：

000101 称为尾数，即⼩数点后⾯的数字；
3 称为指数，指定了⼩数点在数据中的位置；

现在绝⼤多数计算机使⽤的浮点数，⼀般采⽤的是 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下图：

符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
指数位：指定了⼩数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的⻓度越⻓则数值的表达范围就越⼤；
尾数位：⼩数点右侧的数字，也就是⼩数部分，⽐如⼆进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，⽽且**尾数的⻓度决定了这个数的精度，**因此如果要表示精度更⾼的⼩数，则就要提⾼尾数位的⻓度；

⽤ 32 位来表示的浮点数，则称为单精度浮点数(float)，⽽⽤ 64 位来表示的浮点数，称为双精度浮点数(double) ，它们的结构如下：

可以得知：

double 的尾数部分是 52 位，float 的尾数部分是 23 位，由于同时都带有⼀个固定隐含位，所以 double 有 53 个⼆进制有效位，float 有 24 个⼆进制有效位，所以所以它们的精度在⼗进制中分别是 log10(2^53) 约等于 15.95 和 log10(2^24) 约等于 7.22 位，因此 double 的有效数字是 15~16 位，float 的有效数字是 7~8 位，这些是有效位是包含整数部分和⼩数部分；
double 的指数部分是 11 位，⽽ float 的指数位是 8 位，意味着 double 相⽐ float 能表示更⼤的数值范围；

那⼆进制⼩数，是如何转换成⼆进制浮点数的呢？

以 10.625 为例，看看这个数字在 float ⾥是如何存储的：

⾸先，计算出 10.625 的⼆进制⼩数为 1010.101。
然后把⼩数点，移动到第⼀个有效数字后⾯，即将 1010.101 右移 3 位成 1.010101 ，右移 3 位就代表+3，左移 3 位就是 -3。
float 中的「指数位」就跟这⾥移动的位数有关系，把移动的位数再加上「偏移量」，float 的话偏移量是127，相加后就是指数位的值了，即指数位这 8 位存的10000010 （⼗进制 130），因此可认为「指数位」相当于指明了⼩数点在数据中的位置。
1.010101 这个数的⼩数点右侧的数字就是 float ⾥的「尾数位」，由于尾数位是 23 位，则后⾯要补充0，所以最终尾数位存储的数字是 01010100000000000000000 。

在算指数的时候，为什么要加上偏移量呢？

指数可能是正数，也可能是负数，即指数是有符号的整数，⽽有符号整数的计算是⽐⽆符号整数麻烦的，所以为了减少不必要的麻烦，在实际存储指数的时候，需要把指数转换成⽆符号整数。

float 的指数部分是 8 位，IEEE 标准规定单精度浮点的指数取值范围是 -126 ~ +127 ，于是为了把指数转换成⽆符号整数，就要加个偏移量，⽐如 float 的指数偏移量是 127 ，这样指数就不会出现负数了。

⽐如，指数如果是 8，则实际存储的指数是 8 + 127（偏移量）= 135，即把 135 转换为⼆进制之后再存储，⽽当我们需要计算实际的⼗进制数的时候，再把指数减去「偏移量」即可。

⼆进制浮点数的⼩数点左侧只能有 1 位，并且还只能是 1，既然这⼀位永远都是
1，那就可以不⽤存起来了。

于是就让 23 位尾数只存储⼩数部分，然后在计算时会⾃动把这个 1 加上，这样就可以节约 1 位的空间，

尾数就能多存⼀位⼩数，相应的精度就更⾼了⼀点。那么，对于我们在从 float 的⼆进制浮点数转换成⼗进制时，要考虑到这个隐含的 1，转换公式如下：

举个例⼦，我们把下图这个 float 的数据转换成⼗进制，过程如下：

四、0.1 + 0.2 == 0.3 ?

并不是所有⼩数都可以⽤「完整」的⼆进制来表示的，⽐如⼗进制 0.1 在转换成⼆进制⼩数的时候，是⼀串⽆限循环的⼆进制数，计算机是⽆法表达⽆限循环的⼆进制数的，毕竟计算机的资源是有限。

因此，计算机只能⽤「近似值」来表示该⼆进制，那么意味着计算机存放的⼩数可能不是⼀个真实值。
现在基本都是⽤ IEEE 754 规范的「单精度浮点类型」或「双精度浮点类型」来存储⼩数的，根据精度的不同，近似值也会不同。

那计算机是存储 0.1 是⼀个怎么样的⼆进制浮点数呢？

可以看到，8 位指数部分是 01111011 ，23 位的尾数部分是10011001100110011001101 ，可以看到尾数部分是 0011 是⼀直循环的，只不过尾数是有⻓度限制的，所以只会显示⼀部分，所以是⼀个近似值，精度⼗分有限。

0.2 的 float 浮点数：

可以看到，8 位指数部分是 01111100 ，稍微和 0.1 的指数不同，23 位的尾数部分是
10011001100110011001101 和 0.1 的尾数部分是相同的，也是⼀个近似值。
0.1 的⼆进制浮点数转换成⼗进制的结果是 0.100000001490116119384765625 ：

0.2 的⼆进制浮点数转换成⼗进制的结果是 0.20000000298023223876953125 ：

这两个结果相加就是 0.300000004470348358154296875
所以，在计算机中 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3。这主要是因为有的⼩数⽆法可以⽤「完整」的⼆进制来表示，所以计算机⾥只能采⽤近似数的⽅式来保存，那两个近似数相加，得到的必然也是⼀个近似数。

五、总结

1、为什么负数要用补码表示？

负数之所以⽤补码的⽅式来表示，主要是为了统⼀和正数的加减法操作⼀样，毕竟数字的加减法是很常⽤的⼀个操作，就不要搞特殊化，尽量以统⼀的⽅式来运算。

2、十进制小数怎么转成二进制？

⼗进制整数转⼆进制使⽤的是「除 2 取余法」
⼗进制⼩数转⼆进制使⽤的是「乘 2 取整法」

3、计算机是怎么存小数的？

计算机是以浮点数的形式存储⼩数的，⼤多数计算机都是 IEEE 754 标准定义的浮点数格式，包含三个部分：

符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
指数位：指定了⼩数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的⻓度越⻓则数值的表达范围就越⼤；
尾数位：⼩数点右侧的数字，也就是⼩数部分，⽐如⼆进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，⽽且尾数的⻓度决定了这个数的精度，因此如果要表示精度更⾼的⼩数，则就要提⾼尾数位的⻓度；

⽤ 32 位来表示的浮点数，则称为单精度浮点数，也就是我们编程语⾔中的 float 变量，⽽⽤ 64 位来表示的浮点数，称为双精度浮点数，也就是 double 变量。

4、0.1 + 0.2 == 0.3 吗？

不是，0.1 和 0.2 这两个数字⽤⼆进制表达会是⼀个⼀直循环的⼆进制数，⽐如 0.1 的⼆进制表示为 0.00011 0011 0011… （0011 ⽆限循环)，对于计算机⽽⾔，0.1 ⽆法精确表达，这是浮点数计算造成精度损失的根源。

因此，IEEE 754 标准定义的浮点数只能根据精度舍⼊，然后⽤「近似值」来表示该⼆进制，那么意味着计算机存放的⼩数可能不是⼀个真实值。 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，这主要是因为这两个⼩数⽆法⽤「完整」的⼆进制来表示，只能根据精度舍⼊，所以计算机⾥只能采⽤近似数的⽅式来保存，那两个近似数相加，得到的必然也是⼀个近似数。

整理自小林coding所著的《图解系统》，仅做学习之用，侵删