算法设计与分析钻石金字塔问题

一、问题描述

现在你的任务是从金字塔的顶端向金字塔的底端收集钻石，并且尽可能收集价值高的钻石，但是只能从一块砖斜向左下或斜向右下走到另一块砖上，如从上图从用红色 A 标记的砖走向用蓝色 B 标记的砖上。富翁希望 heimengnan 找到一个收集最高价值钻石的路线，并且把可能收集的最大价值告诉富翁。

二、算法描述及思考过程

拿到矿工问题，我第一个想法就是贪心算法，从上往下，每次都取大的。但是遇到以下状况时，贪心算法取不到最优解。最优解应该为 5+1+100=106，但是贪心算法求的是 5+10+2=17。

第二个想法是先遍历一遍，找到该金字塔中价值最大的位置，再根据它往上往下找，但是这样复杂度太高，而且也不能保证取得最优解。

所以想到了用分治法。

如图，比如现在要填价值为“3”这个位置的和，则判断下它的左边和右边哪个价值和更大，则选择哪边，那么 3 这个位置的和则为 3+ 更大的一方。即 SUM[i]max=A[i]+max{SUM[left],SUM[right]};//SUM 为存储此位置能拿到的最大价值，A 为原金字塔数组。

2.1 代码如下：

int firstSolution(int A[],int top,int nf,int n,int sf,int sum[])
/*A[]-金字塔原数组，top-当前处于塔顶元素的序号，nf-当前 top 元素所处层数，n-金字塔元素总数，sf-金字塔总层数，sum-当前求得和*/
{   int left,right;if(top>=n-sf+1&&top<=n)//top 元素位于最后一行       return(sum[top]=A[top]);   else{left=firstSolution(A,top+nf,nf+1,n,sf,sum);right=firstSolution(A,top+nf+1,nf+1,n,sf,sum);
//和等于 top 处元素和左右之间大的那个相加if(left>right){return(sum[top]=left+A[top]);}          else{return(sum[top]=right+A[top]);}}
}

因为还要寻找路径，所以根据 sum 数组的值，查找路径。

2.2 代码如下：

void findway(int sum[],int A[],int sf)
{int *way;way=new int[sf+1];int k=1;for(int i=1; i<=sf; i++) //i 为当前层数{if(sum[k+i]>=sum[k+i+1])//左边大{way[i]=A[k+i];k+=i;}else{way[i]=A[k+i+1];k+=i+1;}}way[0]=A[1];//第一个必须经过   cout<<"路径"<<endl;for(int j=0; j<sf; j++){cout<<way[j]<<" ";}cout<<endl;
}

运行结果如下：

结果是正确的。

通过之前几次测试也可知，递归算法在相同时间复杂度时所耗费的时间远大于非递归算法，所以要想办法消除递归。

分治法的递归是从头向下走，递归深入金字塔，再把值返回来比较，所以要消除递归，我们可以从底下往上算。此时的复杂度为 O(n)。

2.3 代码如下：

int secondSolution(int A[],int n,int sf,int sum[]) //消除递归，从底往上走
//*A[]-金字塔原数组，n-金字塔总元素总数，sf-金字塔总层数，sum-当前求得和*/
{   int i;int nf;//当前层数for(i=(sf*(sf-1)/2)+1; i<=n; i++) //最后一行{sum[i]=A[i];}nf=sf-1;for(i=sf*(sf-1)/2; i>=1; i--) {if(sum[i+nf]>=sum[i+nf+1]){sum[i]=A[i]+sum[i+nf];}else{sum[i]=A[i]+sum[i+nf+1];}if(i==(nf*(nf-1)/2)+1){nf--;//到了每行开头，则行数-1，因为下一个元素就是上一行的了}}return sum[1];
}

运行结果如下：

运行结果正确。

此算法和张舒阳同学在课上讲的 betterpyramid 算法基本一致，所以借鉴她之后的优化，可以降低空间复杂度，即直接把算出来的 sum 存到 A 数组中，因为不会再回头，所以 A 中用过的元素不会再用第二遍，所以可以直接替换掉。大大降低了空间复杂度，也省去了填充最后一行的 sum 数组，时间复杂度变为 O(n-sf)

2.4 代码如下：

int thirdSolution(int A[],int n,int sf)//直接存 A 数组中，不用 sum 数组
{int i,nf;nf=sf-1;if(sf==1)//只有一层{   return A[1];}    else{for(i=n-sf; i>=1; i--){if(A[i+nf]>=A[i+nf+1]){=A[i]+A[i+nf];}              else{=A[i]+A[i+nf+1];}if(i==(nf*(nf-1)/2)+1){nf--;//到了每行开头，则行数-1，因为下一个元素就是上一行的了}}}return A[1];
}

运行结果如下：

运行结果正确。

三、时间复杂度测试：

根据数据得出以下折线图：

经几次测试发现，在层数逐渐增大时，分治法所用时间明显增加，斜率也十分大。可见其时间复杂度之高。

于是抛弃分治法，用了更高的重复次数和更多的层数测试后两个算法之间的差距。

测试了几组，发现因为差距不大，用 s 作为单位观察不出差距，所以把单位换成 ms。

得到数据如下：

根据数据得到如下折线图：

发现两个算法增长的斜率几乎一致，但是仍在层数增大时花费时间差增大，因为差的是 O(sf)，和层数有关。

四、测试截图：

包括分治法，重复次数为 1000 次

基于C++的钻石金字塔问题算法设计相关推荐

基于SIMD的AVS整数反变换算法设计与优化
基于SIMD 的AVS 整数反变换算法设计与优化王玲娟,张刚** 作者简介:王玲娟,(1987-),女,在读硕士,主要研究方向:视频解码算法通信联系人:张刚,(1953-),男,教授,主要研究方 ...
基于Python+Open CV的手势识别算法设计
素材资料下载: 基于Python+OpenCV的手势识别算法设计源代码材料-机器学习文档类资源-CSDN下载采用Python的集成开发环境Pycharm进行本次课程设计,在Pycharm中进行需要库( ...
孙玄辜教授：基于Linux内核的时间轮算法设计实现【附代码】
文章目录 1.时间轮算法基本思想 2.定时器的添加 3.定时器到期处理孙玄:毕业于浙江大学,现任转转公司首席架构师,技术委员会主席,大中后台技术负责人(交易平台.基础服务.智能客服.基础架构.智能运 ...
基于MATLAB有噪声语音信号处理算法设计
获取项目源文件,联系Q:1415736481,可指导毕设,课设摘要滤波器设计在数字信号处理中占有极其重要的地位,FIR数字滤波器和IIR滤波器是滤波器设计的重要组成部分.利用MATLAB信号处理工 ...
基于DSP的注塑机运动控制器和算法设计
将 D S P 作为下位机 , ARM 作为上位机设计了精密的注塑机控制系统 , 下位机用于控制算法的运行以及 I/ O 控制 , ...
“华为杯”研究生数学建模竞赛2020年-【华为杯】A题：基于通信仿真的载波恢复算法设计与 ASIC 实现（附获奖论文及matlab代码实现）
目录摘要: 1. 问题重述 1.1 问题背景 1.2 问题要求 2. 模型假设 3. 符号说明
【毕业设计】基于程序化生成和音频检测的生态仿真与3D内容生成系统----程序化生成地形算法设计
2 程序化生成地形算法设计 Input: Output: 2.1 地形的生成程序化生成地形算法是一种在计算机中生成地形的方法,通常用于游戏开发和虚拟现实应用.下面是几种常见的程序化生成地形算法: D ...
基于matlab的捷联惯导算法设计及仿真,基于 Matlab 的捷联惯导算法设计及仿真1doc.doc...
基于 Matlab 的捷联惯导算法设计及仿真1doc 基于 Matlab 的捷联惯导算法设计及仿真1 严恭敏西北工业大学航海学院,西安 (710072) E-mail:yangongmin@163. ...
c++多边形扫描线填充算法_基于3DGIS技术的梯形格网构建及其简化算法设计
传统矢量地图LOD绘制流程包含简化.剖分与渲染三个步骤.由上述分析可知,传统矢量地图LOD绘制流程中简化与剖分是两个独立的过程,重复的剖分计算导致其渲染效率相对低下.梯形格网方法解决了传统方法中重复剖 ...
一种基于加密域的数字图像水印算法的设计与实现(附Matlab源码)
一种基于加密域的数字图像水印算法的设计与实现项目介绍毕设项目题目:一种基于加密域的数字图像水印算法的设计与实现随着数字媒体技术的发展,数字媒体版权的保护得到了越来越多人的重视,数字水印技术作为 ...

基于C++的钻石金字塔问题算法设计

算法设计与分析钻石金字塔问题

一、问题描述

二、算法描述及思考过程

2.1 代码如下：

2.2 代码如下：

2.3 代码如下：

2.4 代码如下：

三、时间复杂度测试：

四、测试截图：

基于C++的钻石金字塔问题算法设计相关推荐

最新文章

热门文章

基于C++的钻石金字塔问题算法设计

算法设计与分析 钻石金字塔问题

一、 问题描述

二、 算法描述及思考过程

2.1 代码如下：

2.2 代码如下：

2.3 代码如下：

2.4 代码如下：

三、 时间复杂度测试：

四、 测试截图：

基于C++的钻石金字塔问题算法设计相关推荐

最新文章

热门文章

算法设计与分析钻石金字塔问题

一、问题描述

二、算法描述及思考过程

三、时间复杂度测试：

四、测试截图：