《普林斯顿微积分读本》个人读书笔记

最近重温了一下大一没学好的微积分，于是挑了一本豆瓣评价较高的《普林斯顿微积分读本》，这本书讲的确实通俗易懂，让读者加深对微积分的理解的同时也讲述了一些解题的方法，所以我在这里记下了我认为重要的一些内容。美中不足的是这本书只讲述了单变量微积分有关的部分。

参考资料: 《普林斯顿微积分读本》人民邮电出版社

这篇博客只记录我在阅读过程中感到重要的地方，只是一个读书笔记而已

解题技巧: 导数伪装的极限

一个好奇函数: 可导而导数不连续的函数

双曲函数

原书9.7节

反函数的导数

原书10.1节

反函数导数公式

感觉这个公式挺重要的，同时也不是那么好理解，有点绕

写成这样可能要好点

反正弦函数的导数

反余弦函数的导数

函数图像

反正切函数的导数

反正割函数的导数

反余割与反余切函数及其导数

反双曲函数及其导数

导数与图像

罗尔定理

中值定理

函数拐点: 函数凹凸性变化的点

举例: x=0是x3x^3x3的拐点, 但不是x4x^4x4的拐点，即使在x=0处二阶导数都是0

解题技巧: 绘制函数图像的步骤

(1)对称性
(2)y轴截距
(3)x轴截距
(4)定义域
(5)垂直渐近线
(6)函数的正负
(7)水平渐近线
(8)导数的正负
(9)最大值和最小值
(10)二次导数的正负
(11)拐点

最优化和线性化

牛顿法

牛顿法失灵的四种情况:

第十四章洛比达法则

洛比达法则大致证明

重要的极限

定积分

函数的平均值

积分中值定理

微积分基本定理

微积分第一定理

微积分第二定理

用微积分第一定理解决问题

上下限都是函数

导数伪装的极限

求解不定积分

积分的方法

原书第18章

替代法

分部积分法

部分分式法

三角函数积分

技巧综述

反常积分

原书第20章
用极限的思想去求解

比较判别法

P判别法

绝对收敛判别法

无穷处指数函数的行为

提示: 利用这个函数进行比较判决(借助P判别法)

无穷处对数函数的行为

用法同上，但是有一个特别的例子:

第22/23章级数的敛散性

几何级数

当公比的绝对值<1时收敛，否则发散

第n项判别法

若级数通项不趋于0，则级数发散；
级数通项趋于0，需要进一步判断

比式判别

根式判别

积分判别

其他判别方法

类似于积分的敛散性，有:

比较判别法
极限比较判别
p判别

交错级数判别法

24. 泰勒级数

泰勒近似定理

c 的取值与积分中值定理有关，c 介于a和x之间，用来反映误差, 且一般是求不出来的

泰勒级数

是一个无穷级数
若想要证明一个函数在某些x处等于它的泰勒级数，应该尝试证明，当NNN趋于无穷时，余项RNR_NRN趋于0

麦克劳林级数

麦克劳林级数就是 a=0 的泰勒级数

使用泰勒近似作估算

根据余项RN(x)R_N(x)RN(x)估算误差的上限，选择合适的NNN后代回泰勒展开式

幂级数

幂级数的收敛

收敛半径: 利用比式判别法或根式判别法，由级数收敛的条件即可算得收敛区域、收敛半径
端点通常需要单独讨论