关于FFT原理部分的介绍，在网上已经有很多了，所以在此只讲代码实现部分的内容。

推荐看完它的原理解释再来看这里的代码解释

废话不多说，上代码(多项式乘法)

#include

#include

#include

#define N 4000001

using namespace std;

struct cp//手写复数类可以卡常

{

double real,imag;

};

cp operator +(cp a,cp b)

{

return (cp){a.real+b.real,a.imag+b.imag};

}

cp operator -(cp a,cp b)

{

return (cp){a.real-b.real,a.imag-b.imag};

}

复数乘法：设$R_{a}$表示$a$的实部系数，$I_{a}$表示$a$的虚部系数

则$a*b$

$=(R_{a}+I_{a})*(R_{b}+I_{b})$

$=R_{a}*R_{b}+R_{a}*I_{b}+R_{b}*I_{a}+I_{a}*I_{b}$

因为$i^2=-1$

所以结果的实部为$R_{a}*R_{b}-I_{a}*I_{b}$

虚部为$R_{a}*I_{b}+R_{b}*I_{a}$

cp operator *(cp a,cp b)

{

return (cp){a.real*b.real-a.imag*b.imag,a.real*b.imag+a.imag*b.real};

}

double pi=acos(-1.0);

int lim,rev[N],len;

cp w[N],inv[N],a[N],b[N];

void get_w()

{

for(int i=0;i<=lim;i++)

{

double angle=(double)i*2*pi/lim;

w[i].imag=sin(angle);

w[i].real=cos(angle);

inv[i]=(cp){w[i].real,-w[i].imag};

}

}

fft参数解释

$arr:$系数数组，在$fft$后变为点值数组，$arr_{i}$表示将$w^i_n$带入多项式后求得的值

$w:$预处理好的w单位根，在$fft$的时候正常带入即可，在$idft$的时候带入单位根的倒数(具体参见$idft$)void fft(cp *arr,cp *w)

{

for(int i=0;i

{

//处理每一个系数在分治过程中的实际位置；

//if是因为只需交换一次，所以选择由小的一方来执行

if(i

}

for(int i=2;i<=lim;i*=2)//枚举区间长度

{

int l=i/2;

for(int j=0;j

{

//枚举带入的单位根w(k,l)，k>=l的单位根也可以在这里一并求出

for(int k=0;k

{

意义变更

在这里$arr$的意义从系数变为$w^k_i$的点值，$a_{j,j+i-1}$分别表示将$w^{0,i-1}_i$的点值

下面的的t相当于文首博客中的$w^k_n * A_2(w^k_{n \over 2})$

cp t=arr[j+k+l]*w[lim/i*k];//w(k,i)=w(k/i,1)=w(n*k/i,n)

arr[j+k+l]=arr[j+k]-t;

arr[j+k]=arr[j+k]+t;

}

}

}

}

int main()

{

int n,m;

cin>>n>>m;

for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].real);

for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].real);

lim=1;

while(lim<=n+m)len++,lim<<=1;//这样会比用cmath的log要快？

for(int i=0;i>1]>>1)|((i&1)<

get_w();

fft(a,w);

fft(b,w);

for(int i=0;i<=lim;i++) a[i]=a[i]*b[i];

fft(a,inv);

for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ", (int)(a[i].real/lim+0.5));

//除以lim的原因具体参见idft，0.5是为了四舍五入

}