文章目录

  • 常见函数的幂级数(series)展开(具体公式):
      • 几何级数(等比级数)
      • 二项式级数
      • 指数函数和自然对数
      • 三角函数
    • 特点

常见函数的幂级数(series)展开(具体公式):

  • 麦克劳林形式比较常见

几何级数(等比级数)

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯+xn;∀x:∣x∣<1\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}x^n=1+x+x^2+\cdots+x^n;\forall x:|x|<1 1−x1​=n=0∑∞​xn=1+x+x2+⋯+xn;∀x:∣x∣<1

二项式级数

指数函数和自然对数

  • ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infin}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots ex=n=0∑∞​n!xn​=1+x+2!x2​+3!x3​+4!x4​+⋯

  • ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn=x−x22+x33−x44+x55−⋯\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infin}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots ln(1+x)=n=1∑∞​(−1)n+1nxn​=x−2x2​+3x3​−4x4​+5x5​−⋯

三角函数

  • sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=∑n=0∞(−1)nxtt=x−x33!+x55!−x77!+x99!⋯t=1,3,5,7,9⋯\sin{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^t}{t} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}\cdots \\ \\ t=1,3,5,7,9\cdots sinx=n=0∑∞​(−1)n2n+1x2n+1​=n=0∑∞​(−1)ntxt​=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+9!x9​⋯t=1,3,5,7,9⋯

  • cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n2n=∑n=0∞(−1)nxtt=1−x22!+x44!−x66!+x88!⋯t=0,2,4,6,8⋯\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n} =\sum\limits_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^t}{t} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\cdots \\ \\ t=0,2,4,6,8\cdots cosx=n=0∑∞​(−1)n2nx2n​=n=0∑∞​(−1)ntxt​=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+8!x8​⋯t=0,2,4,6,8⋯

特点