David Pozar 微波工程读书笔记（二）

第一章电磁理论

1.5 平面波的通解

1.5.1 线极化平面波

在真空中，电场E的亥姆霍兹方程对于E的每一个直角分量都是正确的。以Ex为例，将Ex分解为三个函数的乘积，并将传播常数定义成三个分离的常数，可以得到：

根据已经学过的1.4节已经知道，该方程可以求出沿正x,y,z轴方向传播和负x,y,z轴方向传播的解。我们选择沿每个坐标轴正向传播的平面波，把Ex写为：

引入位置向量，我们将Ex写为：

Ey和Ez都可以同理表示。由于：

我们可以得到：

这表明电场振幅向量E0必定垂直于传播方向k，这个条件是平面波的普通结果。磁场可以根据麦克斯韦方程求出。具体为：

这个结果表明，磁场强度向量H垂直于传播方向K的平面内，而且H也垂直E。E与H的大小关系由本征阻抗决定。

1.5.2 圆极化平面波

一般而言，平面波的极化方向是其电场向量的方向，它可能固定在一个方向上，也可能随时间变化。

考虑一个振幅为E1的x方向的线极化波和振幅为E2的y方向上的线极化波的叠加，这两个波都沿z方向传播。则总电场可以写为：

考虑E1=jE2=E0的情况，其中E0为实数，于是有：

我们取一个固定点z=0，电场向量在z=0处的时域表达式为：

可以看到，z=0处的电场向量在时刻t与x轴的夹角为：

它表明，极化方向以匀角速度旋转，按照右手定则，当大拇指指向波传播方向时，右手其他手指指向旋转方向，所以这种类型的波称为右旋圆极化波。下图展示了右旋圆极化波得电场极化方向：

与圆极化波相关的磁场可由麦克斯韦方程组或把波阻抗应用到电场的各个分量得到。例如由刚才提到的右旋圆极化波的电场，可以得到：

1.6 能量与功率

坡印廷定理说明电磁场和源的能量守恒，其表达式为：

左边的积分表示由封闭表面S流出的复功率流，源Js和Ms携带的复功率Ps为：

右边的第一个积分表示由封闭表面S流出的复功率流。我们将坡印廷向量S定义为：

则该复功率流可以表示为：

右边第二个和第三个积分是实数量，代表体积V内由于电导率，电介质和磁损耗而消耗的时间平均功率。

右边最后一个积分可视为电和磁的储能有关的项。

有了上述定义，坡印廷定理可以重新写为：

由源携带的功率是通过表面传输的功率，体积内损耗为热的功率及体积内存储的净电抗性能量的2Ω倍之和。

1.7 媒质分界面上的平面波反射

1.7.1 普通媒质

假设入射平面波具有沿x方向极化的电场，并向z轴方向传播。对于z<0，入射场可以写为：

在z<0的区域，可能存在反射波，形式为：

在z>0的有耗媒质区域的透射场可以写为：

我们应用在z=0处有关Ex和Hy的两个边界条件（切向场分量在z=0处连续），可以求解反射系数和透射系数为：

1.7.2 无耗媒质

在无耗情况下，传播常数是纯虚数，波阻抗为实数，因此反射系数和透射系数也是实数，而且E和H在两种媒质中彼此都是同相的。

入射波，反射波和透射波的能量守恒可以由两个区域的坡印廷矢量来证明。对于z<0的区域，复数坡印廷向量为：

对于z>0的区域，复坡印廷向量为：

考虑两个区域的平均时间功率流。对于z<0，通过1m2的横截面的时间平均功率流为：

对于z>0，通过1m2的横截面的时间平均功率流为：

因此实功率流是守恒的。

1.7.3 良导体

对于z<0，在z=0处可以算出复坡印廷矢量的值：

对于z>0，复坡印廷矢量为：

因此，在分界面z=0处，S+=S-，且复功率是守恒的。

流过1m2的时间平均功率流为：

它表明在z=0处功率是守恒的。

1.7.4 理想导体

假定z>0的区域为理想导体，即电导率无穷大。我们可以得到

根据1.7.1中普通媒质的结果进行改写，我们可以得到总E和H为：

对于z<0，坡印廷矢量为：

它的实部为零，说明没有实功率流到理想导体中。在无限电导率的极限情况下，有耗导体的体电流密度退化为无限薄的面电流密度：

1.7.5 表面阻抗的概念

表面阻抗的概念帮助我们在有衰减效应或导体损耗的情况下，考虑非理想导体存在的情形。对于良导体（金属）而言，表面阻抗为：

正入射到导体的平面波绝大部分被反射，而传输到导体的功率消耗在距表面很短的距离并化为热。在1m2横截面的导体体积中（良导体）耗散的平均功率可由坡印廷定理中的导体损耗项给出：

对于良导体，有：

功率损耗还可以用表面电阻Rs和表面电流Js以及切向磁场Ht精确而简单地计算为：

这一方法是很普遍的，适用于各种电磁场，而不限于平面波，还适用于任意形状的导体，只要弯曲或拐角的半径大于等于趋肤深度。

1.8 斜入射到一个介电界面

1.8.1 平行极化

先考虑电场在xz平面（平行极化）的情况。入射场可以写为：

反射场和透射场可以写为：

根据切向场分量Ex和Hy在分界面z=0处的连续条件，可得这些未知量的两个复数方程：

若Ex和Hy在分界面z=0处对所有x都是连续的，则这个x的变化在方程两边必定相同。于是可以得到斯涅尔反射定律和折射定律：

斯涅尔定律还可以写作：

还可以求得反射系数和透射系数为：

这类极化存在一个特殊的入射角称为布鲁斯特角，它使反射系数为零：

1.8.2 垂直极化

考虑垂直于xz平面的电场向量，我们用同样的方法进行考虑，即考虑在z=0处的切向场分量相等，也可以得到斯涅尔定律。而对于介电媒质，垂直极化没有布鲁斯特角。

1.8.3 全反射和表面波

使折射角等于90°的入射角称为临界角。当入射角大于临界角时，透射场的表达式可以写为：

同样根据切向场分量Ex和Hy在分界面z=0处的连续条件，可得这些未知量的两个方程：

为得到边界z=0处的相位匹配，就可以得到斯涅尔定律：

将此处的透射场方程带入亥姆霍兹方程可以得到：

所以就可以得到：

透射场的表达式表明，其在x方向沿分界面传播，但在z方向指数衰减。这样的波被称为表面波。