实对称矩阵的特征值求法_实对称矩阵、相似、标准型、合同的逻辑网

考虑充要条件==，

矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1

矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2

矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化，即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与各自对应的二次型，均可化为系数为特征值的标准二次型（特征标准二次型）——3

上述一条，是因为：

f（x1、x2、x3）=xTAx。对f进行变换，即对x进行线性变化，即x=Cy。代入左式，得f（y1、y2、y3）=yTCTACy=yT（CTAC）y。由此可见，对二次型做变换，必是对其矩阵做合同变换；对二次型的矩阵做合同变换，必可转换为对二次型做变换。而对二次型矩阵仅仅做相似变换C-1BC=A，不能转换为对相应二次型做变换。因为yTC-1ACy无法通过x=Cy转变为xTCx 。

2+3，得：矩阵A、B均与各自相似标准型合同，且A、B的特征值的正负个数相同==矩阵A、B合同——4

矩阵是实对称矩阵，则必可同时相似、合同于它的相似标准型。所以实对称矩阵A、B有相同特征值==A、B相似；实对称矩阵A、B正负特征值个数相同==A、B合同

对于二次型，二次型的标准型不唯一，但特征标准型唯一，系数即为特征值。

二次型的特征标准型唯一，但它的正交矩阵不唯一。原二次型矩阵以特征向量为基础，选择不同的施密特正交化方式（beta1=α1，α1可从不正交的一组向量中任意选择，因此施密特正交化可得不同的正交向量组），即可得不同的正交矩阵。

二次型的标准型不唯一，但规范型必唯一，原因是标准型的系数可任意取，而规范型的系数只取1、-1、0。在向量、系数、二次型函数值三个相关量中，标准型有系数和向量两个自由度，减去相关性还有一个自由度，因此可以自由转换；而规范型的系数、二次型函数值都不自由，强迫第三个相关量，即向量也不自由，自由度为零，因此表达式唯一。

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