卡特兰数出现在许多计数问题中。

常见的例子有：$n$ 个节点的有序二叉树，$2n$ 个括号构成的合法括号序列。

在上面所举的两个例子中，很容易看出卡特兰数满足递推：
$$
C_{n+1} = \sum_{i = 0}^{n} C_i C_{n-i }, \quad(n \ge 1)
$$
$C_0 = 1$

卡特兰数的闭形式，亦即上述递推式的解为

$$
C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}
$$

曾经我对于如何推导这个式子很感兴趣，实际上推导过程很容易搜到，维基百科上就有。
现在我摘录一种最常见的借助生成函数的证明，以备查看。

定义 $C_n$ 的生成函数
$$
c(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} C_n x^n
$$

为了利用上述递推关系，我们考虑 $c(x)^2$ 的幂级数展开式中 $x^n$ 项的系数
\begin{aligned}
c(x)^2 &= \sum_{n = 0}^\infty \sum_{i = 0}^{n} C_i C_{n-i} x^n \\
&= \sum_{n = 0}^\infty C_{n+1} x^n
\end{aligned}

于是有
\begin{equation}
c(x) = 1 + xc(x)^2 \label{E:1}
\end{equation}
\eqref{E:1} 是关于 $c(x)$ 的一元二次方程，解之即得 $c(x)$ 的闭形式，再将此闭形式展开即得 $C_n$ 的表达式。

解得
$$ c(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4x}} {2x} $$
注意到 $c(x)$ 在 $x = 0$ 处的极限应为 $0$，据此可知上式中分母上应取负号，即
\begin{equation}
c(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}} {2x} \label{E:2}
\end{equation}
现在问题归结为如何将 \eqref{E:2} 展成幂级数。

要解决这个问题，我们需要知道一个东西，那就是二项式定理的推广形式。
回忆我们所学过的二项式定理，$(x + y)^n$ 中的指数 $n$ 必须是非负整数。先哲牛顿推广了初等的二项式定理，他证明了指数可以为任意实数 $r$，二项式定理同样成立。即有
$$(x+y)^r = \sum_{k = 0}^{\infty} \binom{r}{k} x^k y ^{r-k} $$
其中
$$\binom{r}{k} = \frac{r (r-1) (r-2) \dots (r - k + 1)} {k!}$$
$r (r-1) (r-2) \dots (r - k + 1)$ 也称作「$r$ 的降 $k$ 阶乘」，记作 $(r)_k$，这种记法称作 Pochhammer 符号。

二项式定理的一般形式在物理上很有用处，我念本科时不知道这么个好东西，常常看不懂书上的一些推导过程。

借助推广的二项式定理，我们很容易写出 $\sqrt{1 - 4x}$ 的展开式
\begin{aligned}
\sqrt{1 - 4x} &= (1 - 4x)^{1/2} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty}\binom{1/2}{k} (-4x)^k \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}(2k-3)!!}{2^k k!} (-4x)^k \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{4^k (2k -1) }\frac{2^k (2k-1)!!}{k!} (-4x)^k \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{4^k (2k -1) } \binom{2k}{k} (-4x)^k \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{-1}{ 2k -1 } \binom{2k}{k} x^k
\end{aligned}
进而
\begin{aligned}
1 - \sqrt{1 - 4x} &= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{ 2k -1 } \binom{2k}{k} x^k \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{ 2k + 1 } \binom{2k+2}{k+1} x^{k+1} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2}{k+1} \binom{2k}{k} x^{k+1}
\end{aligned}
从而
$$ \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}} {2x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{ k+1 } \binom{2k}{k} x^k $$
因此
$$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $$

补充

$C_n$ 还可写成
$$ C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n + 1} $$
另外，$C_n$ 的相邻两项满足
$$ C_{n+1} = \frac{2(2n+1)}{n + 2} C_n $$