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测量误差的处理
- 测量误差的表示
- - 1.绝对误差δ\deltaδ
  - 2.相对误差γ\gammaγ
  - 3.引用误差γm\gamma_{m}γm
- 系统误差
- - 定义
  - 分类
  - 常见案例
  - 系统误差判定方法：
  - - 1.残余误差观察法
    - 马利科夫准则
    - 阿贝-赫梅特准则
  - 误差处理
  - - 减小恒值系统误差
    - 减小线性系统误差
- 随机误差
- - 贝塞尔公式
- 粗大误差
- - 误差处理
  - - 3σ\sigmaσ准则
    - 格罗布斯准则
- 误差之间的关系
- 误差的传递和分配
- - 误差的传递
  - 误差的分配

测量误差的处理

测量误差的表示

1.绝对误差δ\deltaδ

δ=x−A\delta=x-A δ=x−A

2.相对误差γ\gammaγ

定义：绝对误差与真值之比：
γ=δμ×100%\gamma=\frac{\delta}{\mu}\times100\% γ=μδ×100%
因为测得值一般与真值相近，我们一般也可以近似的用测得值代替真值进行相对误差德计算：
γA=δx×100%\gamma_{A}=\frac{\delta}{x}\times100\% γA=xδ×100%
该值通常被叫做示值相对误差

3.引用误差γm\gamma_{m}γm

常用于多档和连续刻度的仪器仪表中使用。避免了将使用相对误差时，需要不停对分母进行变化引发繁琐的计算。此处是定义为绝对误差δ\deltaδ与测量装置的量程BBB之比。
γm=δB×100%B=xmax−xmin\gamma_m=\frac{\delta}{B}\times100\%\\ B=x_{max}-x_{min} γm=Bδ×100%B=xmax−xmin
最大引用误差：
Rm=∣δmaxB∣×100%R_m=|\frac{\delta_{max}}{B}|\times100\%\\ Rm=∣Bδmax∣×100%
通常将该引用误差应用于不超过某个规定值，然后去评价使用什么设备。

这个最大引用误差又被称为仪表的允许误差（用于划分准确度等级）

系统误差

定义

在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的固定不变或按一定规律变化的误差。

常见案例

因天平砝码重量超差产生的系统误差/GPS卫星采用的高精度原子钟和标准时间之间的误差
万用表电池电压随时间下降引起的测量误差
光栅的细分误差

系统误差判定方法：

1.残余误差观察法

注意：当系统误差比随机误差小，就不能通过观察来发现系统误差，于是通过马利克夫准则和阿贝-赫梅特准则（检验误差的分布是否偏离正态分布）

马利科夫准则

适用于发现线性系统误差。将测量的多次数据按先后次序分为前后两组，然后把两组的残差的代数和相减得到判别之Δ\DeltaΔ为：
Δ=∑i=1Kνi−∑i=K+1nνi\Delta=\sum_{i=1}^K\nu_i-\sum_{i=K+1}^n\nu_i Δ=i=1∑Kνi−i=K+1∑nνi
当Δ\DeltaΔ显著不为0，则可认为测量中存在线性系统误差；若Δ\DeltaΔ近似等于0，说明测量值不存在线性系统误差；当Δ\DeltaΔ等于0，则无法判断是否存在系统误差。

阿贝-赫梅特准则

适用于周期性系统误差。按先后次序进行排序之后，求出测量列的标准差σ^\hat{\sigma}σ^,然后计算统计量
C=∣∑i=1n−1νiνi+1∣C=|\sum_{i=1}^{n-1}\nu_i\nu_{i+1}| C=∣i=1∑n−1νiνi+1∣
当∣C∣>n−1σ^2|C|>\sqrt{n-1}\hat{\sigma}^2∣C∣>n−1σ^2时，可认为测量列中含有周期性系统误差

误差处理

减小恒值系统误差

替代法：用检测装置对被测量进行测量后，再用同一检测装置对一已知标准量进行同样的测量，并使指示值相同，则已知标准量的量值即为被测量的量值。
交换法：用平衡法对被测量进行一次测量，然后把被测量与标准量的位置交换再进行一次测量，取两次测量的标准量值的平均值作为测量结果
抵消法：适当改变测量条件对被测量进行两次测量，使两次测量所产生的系统误差大小相等、符号相反，取两次测得值的平均值作为测量结果

减小线性系统误差

采用等时间间隔对称取值，将各直接测量测得值的平均值作为测量结果，再通过已定的函数关系式计算被测量的测量结果。

随机误差

定义：在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以无规律方式变化的误差。

一般把置信限aaa取为σ\sigmaσ的若干倍，即
a=±kσa=\pm k \sigma a=±kσ
如下表是典型的k值以及相关的置信概率

k	置信概率
2	0.9544
3	0.9973

贝塞尔公式

计算测量列标准差：
s=σ^=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2=1n−1∑i=1nvi2s=\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}} s=σ^=n−11i=1∑n(xi−xˉ)2=n−11i=1∑nvi2
测量列算术平均值的标准差：
sxˉ=sn=1n(n−1)∑i=1nvi2s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}} sxˉ=ns=n(n−1)1i=1∑nvi2

粗大误差

定义：明显地偏离了被测量真值的测量值所对应的误差

误差处理

一般是选定一个置信概率P，得出置信水平，然后按一定标准设置置信区间，凡是超出区间的误差即可认为是粗大误差。

3σ\sigmaσ准则

通常将该准则只应用于测量次数n>50的情况，当n≤10n\le10n≤10，该准则失效

格罗布斯准则

∣νb∣=∣xb−x∣ˉ>[g0(b,α)]σ|\nu_b|=|x_b-\bar{x|}>[g_0(b,\alpha)]\sigma ∣νb∣=∣xb−x∣ˉ>[g0(b,α)]σ

当测量值的参与误差大于该值，就被认为是坏值，需要剔除(每次只能移除一个最大的异常数据)，然后，重新计算测量列的算术平均值和标准偏差

误差之间的关系

精密度表征了多次重复对同一被测量测量时，各个测量值分布的密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近。
正确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。
准确度越高则表征测量值越接近真值。准确度是正确度和精密度的综合，准确度高则表征了正确度和精密度都高。

误差的传递和分配

误差的传递

在间接测量中，被测量y和各直接测量量xix_ixi之间的函数关系可以表示为：
y=f(x1,x2,⋯,xn)y=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) y=f(x1,x2,⋯,xn)
则间接测量量y的误差Δy\Delta yΔy为：
Δy=∂f∂x1Δx1+∂f∂x2Δx2+⋯+∂f∂xnΔxn=∑j=1n∂f∂xjΔxj=∑j=1nfxj′Δxj=∑j=1nDj\Delta y=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \Delta x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \Delta x_{2}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \Delta x_{n}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} \Delta x_{j}=\sum_{j=1}^{n} f_{x j}^{\prime} \Delta x_{j}=\sum_{j=1}^{n} D_{j} Δy=∂x1∂fΔx1+∂x2∂fΔx2+⋯+∂xn∂fΔxn=j=1∑n∂xj∂fΔxj=j=1∑nfxj′Δxj=j=1∑nDj
根据标准偏差的定义，间接测量y的标准偏差可计算为：

σy=(∂f∂x1)2σ12+(∂f∂x2)2σ22+⋯+(∂f∂xn)2σn2+2R=∑j=1nfxj′2σj2+2R=∑j=1nDj2+2R\begin{aligned} \sigma_{y}&=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)^{2} \sigma_{1}^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right)^{2} \sigma_{2}^{2}+\cdots+\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)^{2} \sigma_{n}^{2}+2 R}\\ &=\sqrt{\sum_{j=1}^{n} f_{x j}^{\prime 2} \sigma_{j}^{2}+2 R}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n} D_{j}^{2}+2R}\\ \end{aligned} σy=(∂x1∂f)2σ12+(∂x2∂f)2σ22+⋯+(∂xn∂f)2σn2+2R=j=1∑nfxj′2σj2+2R=j=1∑nDj2+2R
又因为各直接测量量相互独立，所以R=0
σy=∑j=1n(∂f∂xj)2σj2=∑j=1nfxj′2σj2\sigma_{y}=\sqrt{\sum_{j=1}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)^{2} \sigma_{j}^{2}}=\sqrt{\sum_{j=1}^{\mathrm{n}} f_{x_{j}}^{\prime 2} \sigma_{j}^{2}} \quad σy=j=1∑n(∂xj∂f)2σj2=j=1∑nfxj′2σj2

误差的分配

根据已知的或给定的间接测量量y的误差ζy\zeta_yζy，确定各直接测量量xj（j＝1，2，…，n）x_j（j＝1，2，…，n）xj（j＝1，2，…，n）的误差σjσ_jσj或εjε_jεj

具体应用：已知对某个总偏差限定在一个范围，然后通过等作用原则计算对每个直接测量量的偏差要求，通过调整直接测量量的偏差需求，使用误差传递公式得出最后是否满足要求。

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1.绝对误差δ\deltaδ

2.相对误差γ\gammaγ

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