离散数学第九章—学习笔记

9.1关系 relationship!

aRb ： a,b有关系R a属于A b属于B AB为两个集合
用箭头表示也可以用数组（表格）表示

函数作为关系只要记住多对一是不可以的画个图其实是差不多的啦

集合自身的关系：定义：集合A上的关系是从A到A的关系
集合A上的关系是AxA的子集
怎么理解？
eg:{1，2，3，4，5} a整除b的有序对有哪些
1 1
1 2…等等
你看，这是一个关系，但他不完整，不能描述AxA所有的有序对

Q：n元素集合上有多少个不同的关系？
考虑n元素的集合A
AxA 一共n^2个有序对
把一个个有序对看成元素，求他的子集
ans=2^(n^2)
n=3 ->512个哇有这么大！

关系的性质：
自反：对A中的每个元素a有（a,a）属于R
正整数集合上整除关系是自反的吗？
显然！（a,a) a|a 成立！

非负呢？
不成立！！
0|0无意义

对称的：对于任意a,b属于A，若只要（a,b）属于R，就有（b,a)属于R
反对称：对于任意a,b属于A （a,b） &&（b,a）属于R，b=a成立

R 2,1 || 3,1 || 3,2 || 4,1 || 4,2 || 4,3
反对称的对不对，我们找不到 a,b && b,a这样的元素
R 1，1 || 1，2 || 2，1 这个呢？
对称的！

传递的 a,b 属于R b,c 属于R -> a,c 属于R 我简写了 abc任意的

关系的组合
和集合很像的 sub 交并

关系还有另一种组合方式
合成
R： A到B
S： B到C

(a，b）属于R
（b,c）属于S
合成变成(a,c)
记做：SoR
B相当于一个中转炉
怎么合成，找第二个元素(ab中的b)和第一个元素(bc中的b)一样的不就得了

双亲关系与自身的合成
若a是b的父母（a,b）属于R （a,c）属于RoR 当且仅当 a是b的父母 b是c的父母 a是c的祖父母
递归定义R的n次幂
我的父母的父母的父母的父母的父母的父母……

证明一个传递关系的幂是该关系的子集
集合A上的关系是传递的，当且仅当n=1,2,3有R^n属于R
充分性 R^n属于R A传递?考虑n=2，R^2属于R 由合成的定义知 a,b属于R b,c属于R a,c属于R^2所以a,c属于R

已知传递的推出 R^n属于R 数学归纳法！
n=1不解释

R^n属于R成立
R^n+1=R^n o R 存在 (a,x）属于R^n （x，b) 属于R a,b属于R^n+1
而R^n属于R so! a,x x,b属于R 由于R是传递的 a,b属于R
所以R^n+1属于R

9.2n元关系

数据库里常用没啥意思不讲

9.3 关系的表示

用矩阵表示关系，有关系的标1 无关系 0

R是对称的当且仅当MR=（MR）的转置
自反的：对角线主对角线all 1其他无所谓
反对称的：当且仅当 a,b属于R b,a属于R 则a=b
if mij=1 i不等于j
then mji=0
交和并不讲对每个对应的元素交一下并一下就可以了

关系合成的矩阵

引入布尔积
乘法知道的吧布尔积就是乘法法则中只要有一对对应元素都为1则Cij=1
你也可以写个乘法，然后把>=1 都写成1就可以了（0-1矩阵）

9.4闭包

把不在R中的所有形如（a,a)的有序对加入R，得到R的自反闭包

同样地，加入（a,b)属于R而（b,a）不属于R，这个新关系是对称的，称为R的对称闭包

传递闭包有点复杂，要不断加入新东西直到不能加

将关系看成一条条路，比如a,b 看成a能走到b 但b走不过来a
除非加入b,a或者其他一些路构成回路

定理：设R是集合A上的关系，从a到b存在一条长为n的路径，当且仅当（a,b）属于R^n

数学归纳法
n=1 显然成立
假设对于n=k，成立，从a到b存在k+1的路径，一定有一条长1 （a,c）属于R，一条k（c,b）属于R^k连起来
因此从a到b存在k+1的路径，当且仅当有一条长1 （a,c）属于R，且（c,b）属于R^k，若有这样的c当且仅当（a,b）属于R^(n+1)

R*=R+R^2+。。。。。。。。R^n

定理：关系R的传递闭包等于连通性关系R*

传统算法2n^3(n-1)
沃舍尔算法 2n^3

首先是从定义出发的标准算法，若要求出包含关系R的最小的传递闭包，我们就要为R中的每一种可能传递的关系补完其可传递性。不同于自反和对称闭包，传递的复杂之处在于，他是可以有多重传递的，这就造成了初次补完R以后，新添加的关系有可能会和原有的关系一起产生新的传递关系（路径），这时候就需要二次补完。同样的道理，三次、四次…直到n次（n为R的顶点数）以后。
如上描述，求传递闭包的标准方法就是依次求出1、2、3…、n阶传递关系并在每阶求完之后与前一阶的矩阵联合，再进行下一阶的求解。具体的操作方法是对原矩阵MR（图7-11右）进行布尔幂运算。我们可以看到——MR[k]的值mij正好是其前一阶，即MR[k-1]的i行j列（或者说，顶点i和顶点j之间）传递关系存在与否的解。（难理解的话可以亲手算一算）。
接着是沃舍尔算法，这个算法比前面的标准算法复杂度上少了一阶。沃舍尔算法使用了一条路径的“内点”的概念。即如a，b，c，…..，x样的一条路径，除去a和x之外的所有端点称为这条路径的内点。具体的操作方法是以R为开头构造一系列（n个）矩阵，他们是W0 ,W1,W2,W3,W4 …..，其中W0= MR。这看起来和标准算法差不多，但是沃舍尔算法的高阶矩阵的值并不是由前一阶的布尔幂运算得来。而是这样定义的：Wk=[wij[k]]，如果存在一条从vi到vj的路径且这条路径的所有内点都在集合{v1，v2，….，vk}（表中的前k个顶点）内，那么wij[k]=1，否则为0.（注意有两个合取的条件）。
可以看到，因为Wk-1中的“1”也必然满足于Wk，所以Wk-1中的“1”可以直接继承到Wk之中，即wij[k-1]=1→wij[k]=1。而对于Wk-1中的0，从前段的定义中我们可以看到，对于wij[k-1]为0，而wij[k]为1的情况，当且仅当wik[k-1]=1且wkj[k-1]=1。（或者使用路径的说法——存在一条从vi到vk和一条从vk到vj的路径，使得当内点集合扩大到vk时才满足了前段定义的第二条条件）注意这里的下标k，不再泛指k≤n的正整数，而是实指当前正在运算的Wk的k。举图7-11的例子来说明，W1的w24[1]的值应该是w21[0]*w14[0]=1，而在W0中这个位置的值是0.
总结来说，标准算法是通过n阶布尔幂来化简多重传递，并在过程中进行了矩阵合并的运算以保证所有路径都被保留；而沃舍尔算法在每阶矩阵的每个元素上，最多只进行2次布尔运算就可以取代标准算法的一个复杂度为O(n)的矩阵运算，因此效率得以提升。