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1、请给出下图 G 的所有点割集和边割集，并求 G 的点连通度和边连通度。
2、请证明：如果无向图 G 中恰好含有两个奇度顶点，那么这两个顶点一定是连通的。
3、请证明：在无向连通图 G 中，顶点 c 是割点当且仅当存在与 c 不同的两个顶点 u 和 v，并且在 u 和 v 之间的每一条通路都经过 c。
4、设 n (n ≥ 3) 阶无向简单图 G 是连通的，但是不是完全图。证明：存在 u, v, w ∈ V (G)，使得 (u, v), (v, w) ∈ E(G)，而 (u, w) ̸∈ E(G)。

1、请给出下图 G 的所有点割集和边割集，并求 G 的点连通度和边连通度。

解答：
G的点割集： {v1, v3} 、 {v4}
G的边割集： {e5} 、 {e3, e4} 、 {e1, e2} 、 {e1, e3} 、 {e1, e4} 、 {e2, e3} 、 {e2, e4}
G的点连通度为1，G的边连通度为 1。

2、请证明：如果无向图 G 中恰好含有两个奇度顶点，那么这两个顶点一定是连通的。

解答：
因为奇度顶点有两个，两个奇度顶点必在同一连通分支内，所以这两个顶点一定是连通的。

3、请证明：在无向连通图 G 中，顶点 c 是割点当且仅当存在与 c 不同的两个顶点 u 和 v，并且在 u 和 v 之间的每一条通路都经过 c。

解答：
因为u和v之间的每一条通路都经过c，当去掉c点的时候，u和v不连通，所以c是割点，可证明顶点c是割点当且仅当存在与c不同的两个顶点u和v，并且在u和v之间的每一条通路都经过c。

4、设 n (n ≥ 3) 阶无向简单图 G 是连通的，但是不是完全图。证明：存在 u, v, w ∈ V (G)，使得 (u, v), (v, w) ∈ E(G)，而 (u, w) ̸∈ E(G)。

解答：
因为G是连通的，假设 u, v, w ∈ V (G)，且(u, v), (v, w) ∈ E(G)，说明这个无向简单图G是连通的，而此时(u, w) ̸∈ E(G)也能实现G的连通。可证明存在 u, v, w ∈ V (G)，使得 (u, v), (v, w) ∈ E(G)，而 (u, w) ̸∈ E(G)。

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