最大子矩阵问题悬线法学习笔记

学习材料：王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩阵问题》

【最大子矩阵问题】

在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的最大子矩形。

【定义子矩形】

有效子矩形：内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的子矩形。

极大子矩形：每条边都不能向外扩展的有效子矩形。

最大子矩形：所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。

【极大化思想】

在一个有障碍点的矩形中最大子矩形一定是极大子矩形。

设计算法的思路：枚举所有的极大子矩形，找到最大子矩形。

设NM分别为整个矩形的长和宽，S为内部的障碍点数。

【算法1】

时间复杂度：O（S^2）空间复杂度：O（S）

由于极大子矩形的每一条边都不能向外扩展，那么极大子矩阵的每条边要么覆盖了障碍点，要么与整个矩形的边界重合

基本算法：枚举上下左右四个边界，然后判断组成的矩形是否是有效子矩形。

复杂度：O（S^5）可以改进的地方：产生了大量的无效子矩形。

初步改进的算法：枚举左右边界，然后对处在边界内的点排序，每两个相邻的点和左右边界组成一个矩形。

复杂度：O（S^3）可以改进的地方：枚举了部分不是极大子矩形的情况。

综上，设计算法的方向：

1、保证每一个枚举的矩形都是有效的。

2、保证每一个枚举的矩形都是极大的。

算法的过程：

枚举极大子矩形的左边界——>根据确定的左边界，找出相关的极大子矩形——>检查和处理遗漏的情况

(1)按照横坐标从小到大的顺序将所有的点编号为1，2，3...

(2)首先选取1号点作为要枚举的极大子矩形的左边界，设定上下边界为矩形的上下边界

(3)从左到右扫描，第一次到2号点，确定一个极大子矩形，修改上下边界；第二次找到3号点，以此类推。

(4)将左边界移动到2号点，3号点，，，以同样的方法枚举

遗漏的情况：

1、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合。解决方法：用类似的方法从左到右扫一遍

2、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合，且矩形的右边界与整个矩形的右边界重合。解决方法：预处理时增加特殊判断。

优点：利用的极大化思想，复杂度可以接受，编程实现简单。

缺点：使用有一定的局限性，不适合障碍点较密集的情况。

【算法2】

时间复杂度O(NM) 空间复杂度O(NM)

定义

有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何一个障碍点的竖直线段。

悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段。

每个悬线都与它底部的点一一对应，矩形中的每一个点（矩形顶部的点除外）都对应了一个悬线。

悬线的个数=(N-1)*M；

如果把一个极大子矩形按照横坐标的不同切割成多个与y轴平行的线段，那么其中至少有一个悬线。

如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形，我们称它为悬线对应的矩形。

悬线对应的矩形不一定是极大子矩形，因为下边界可能还可以向下扩展。

设计算法：

原理：所有悬线对应矩形的集合一定包含了极大子矩形的集合。

通过枚举所有的悬线，找出所有的极大子矩形。

算法规模：

悬线个数＝(N－1)×M

极大子矩形个数≤悬线个数

具体方法：

设 H[i,j]为点(i,j)对应的悬线的长度。

L[i,j]为点(i,j)对应的悬线向左最多能够移动到的位置。

R[i,j]为点(i,j)对应的悬线向右最多能够移动到的位置。

！考虑点(i,j)对应的悬线与点(i-1,j)对应的悬线的关系（递推思想）：

如果(i－1,j)为障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度1，左右能移动到的位置是整个矩形的左右边界。

即 H[i,j]＝1,

L[i,j]=0,R[i,j]=m

如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度为(i-1,j)对应的悬线长度＋1。

即 H[i,j]＝H[i-1,j]+1

•如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线左右能移动的位置要在(i-1,j)的基础上变化。

L[i-1,j]

L[i,j]=max

(i-1,j)左边第一个障碍点的位置

•同理，也可以得到R[i,j]的递推式

R[i-1,j]

R[i,j]=min

(i-1,j)右边第一个障碍点的位置

优点：复杂度与障碍点个数没有直接关系。

缺点：障碍点少时处理较复杂，不如算法1。

代码实现具体见WC2002 奶牛浴场（算法1）

codevs1159最大全0子矩阵（算法2）

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