极坐标变换：∫e^(-x^2)dx积分求解

2024-04-26 03:28:54

1. 凑一下

设 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = I \int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx = I ∫−∞∞e−x2dx=I，而且 ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = I \int_{-\infty}^\infty\,e^{-y^2}\,dy = I ∫−∞∞e−y2dy=I

那么 I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y I^2=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\,e^{-{(x^2+y^2)}}\,dxdy I2=∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)dxdy

看到 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 小小激动一下，可以极坐标变换了

2. 极坐标变换

因为积分域为直角坐标系上 x x x和 y y y上的 − ∞ -\infty −∞到 ∞ \infty ∞，也就是整个坐标系的面积，那么换成极坐标系， r r r的范围就是 0 0 0到 ∞ \infty ∞， θ \theta θ的范围就是 0 0 0到 2 π 2\pi 2π，即

I 2 = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r = π I^2 = \int_0^{2\pi}\,d\theta\int_0^\infty\,e^{-r^2}r\,dr =\pi I2=∫02πdθ∫0∞e−r2rdr=π

因为 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x \int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx ∫−∞∞e−x2dx一定是大于0的，所以开根号后只保留正数就好了，即

I = π I=\sqrt \pi I=π

3. 奇偶性

因为 e − x 2 e^{-x^2} e−x2是偶函数，所以如果积分域沿 y y y轴对称对称

∫ − ∞ 0 e − x 2 d x = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_{-\infty}^0\,e^{-x^2}\,dx=\int_0^\infty\,e^{-x^2}\,dx=\frac {\sqrt \pi}{2} ∫−∞0e−x2dx=∫0∞e−x2dx=2π

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