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什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得
集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为
完备匹配
，
在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的
带权匹配与最
佳匹配不等价，也不互相包含
。
我们可以使用
KM
算法实现求二分图的最佳匹配。方法我不再赘述，可以参
考
tianyi
的讲解
。
KM
算法可以实现为
O(N^3)
。
[KM
算法的几种转化
]
KM
算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简
单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相
反数即可。
KM
算法的运行要求是
必须存在一个完备匹配
，如果求一个最大权匹配
(
不一
定完备
)
该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为
0
。
KM
算法求得的最大权匹配是
边权值和
最大，如果我想要
边权之积
最大，又
怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求
得的结果
a
再算出
e^a
就是最大积匹配。
至于精度问题则没有更好的办法了。
[
求最小
(
大
)
权匹配的费用流建模方法
]
求最小
(
大
)
权匹配，可以用最小
(
大
)
费用最大流的方法。和二分图最大匹配的
构图方法类似，添加附加源
S
和附加汇
T
，从
S
向二分图
X
集合中每个顶点
连接一条权值为
0
，容量为
1
的有向边，从
Y
集合中每个顶点向
T
也连接一
条权值为
0
，
容量为
1
的有向边。
然后把原有的边变成容量为
1
，
权值不变的
有向边。求从
S
到
T
的最小
(
大
)
费用最大流，就能求得最小
(
大
)
权匹配。
上述建模求最大权匹配的方法求得的
一定
是最佳匹配
(
如果存在完备匹配
)
，
因
为
S
到
X
集合每条边全部满流。如下图所示，最小费用最大流为
2
。
要求最大权匹配
(
不一定完备匹配
)
。如下图，只需再引入一个顶点
A
，从
X
集合的每个顶点向
A
连接一条容量为
1
，权值为
0
的边，然后再由
A
向
T
连
接一条权值为
0
，容量不小于
|X|
的边，求最大费用最大流，这时是
100
。
最小权匹配也类似，
不过新加的边权要为一个极大值，
大于所有已有边权值。
[KM
算法与费用流的比较
]
从理论上分析，
KM
算法的时间复杂度比费用流要好，但是实际上和较好的
费用流算法比起来运行效率是差不多的，
KM
算法优势仅仅在于编程容易。
而对于十分稀疏的图，
许多优秀的费用流算法效率是很高的。
这并不说明
KM
算法不如费用流，毕竟在信息学竞赛中，编程的复杂度也是一个相当重要的
需要考虑的因素。
BYVoid
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