字符串哈希算法

字符串哈希,最著名的就是BKDRHash,也就是将字符串变成数值,并且最后变成的数值是一个P进制的数（一班取131或者13331）,一般来说P最好为素数.然后我们之所以需要前缀和,是因为我们这道题目是求一个区间的字符串,又因为是哈希表,所以我们得求出区间哈希和,又因为是是区间和,所以我们得用前缀和求O(n)预处理,来实现和哈希一般的O(1)常数级别查询.这种Hash常用,且冲突概率极低,offer必备,同时竞赛OI党必备,是优秀的算法,容易精简易理解.

例题1：AcWing——兔子与兔子

很久很久以前，森林里住着一群兔子。

有一天，兔子们想要研究自己的 DNA 序列。

我们首先选取一个好长好长的 DNA 序列（小兔子是外星生物，DNA 序列可能包含 26 个小写英文字母）。

然后我们每次选择两个区间，询问如果用两个区间里的 DNA 序列分别生产出来两只兔子，这两个兔子是否一模一样。

注意两个兔子一模一样只可能是他们的 DNA 序列一模一样。

输入格式

第一行输入一个 DNA 字符串 S。

第二行一个数字 m，表示 m 次询问。

接下来 m 行，每行四个数字 l1,r1,l2,r2l1,r1,l2,r2，分别表示此次询问的两个区间，注意字符串的位置从1开始编号。

输出格式

对于每次询问，输出一行表示结果。

如果两只兔子完全相同输出 Yes，否则输出 No（注意大小写）。

数据范围

1≤length(S),m≤10000001≤length(S),m≤1000000
输入样例：

aabbaabb
3
1 3 5 7
1 3 6 8
1 2 1 2
输出样例：

Yes
No
Yes

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const int N=1000010,base=131;//进制
char str[N];
ULL h[N],p[N];              //h数组是求前缀哈希值，p数组是求进制的i次幂ULL get(int l,int r){      //求一段区间的哈希值return h[r]-h[l-1]*p[r-l+1];
}int main(){scanf("%s",str+1);int n=strlen(str+1);   //从str[1]开始存p[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){h[i]=h[i-1]*base+str[i]-'a'+1;  //利用前缀和的思想求哈希值p[i]=p[i-1]*base;}int m;cin>>m;while(m--){int l,r,x,y;scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&x,&y);if(get(l,r)==get(x,y))cout<<"Yes"<<endl;elsecout<<"No"<<endl;}return 0;
}

例题2：139. 回文子串的最大长度

如果一个字符串正着读和倒着读是一样的，则称它是回文的。

给定一个长度为N的字符串S，求他的最长回文子串的长度是多少。

输入格式

输入将包含最多30个测试用例，每个测试用例占一行，以最多1000000个小写字符的形式给出。

输入以一个以字符串“END”（不包括引号）开头的行表示输入终止。

输出格式

对于输入中的每个测试用例，输出测试用例编号和最大回文子串的长度（参考样例格式）。

每个输出占一行。

输入样例：

abcbabcbabcba
abacacbaaaab
END

输出样例：

Case 1: 13
Case 2: 6

前缀和+后缀和+二分+Hash(哈希) O(nlogn)
我们发现0这道题目数据范围极其恐怖,那么只有一个办法可以让我们求解这道题目,那就是哈希,或者是O(n)复杂度的Manacher算法,但是我们这道题目是锻炼我们的哈希水平,所以我们这里只说如何用哈希算法求解.作者目前还不会马拉车算法，作者先去学一下再来补

上一道兔子兔子兔子的题目,我们知道判断两个字符串是否相等,可以使用字符串哈希,也就是将字符串算成P进制数值,然后区间和判断即可,那么这道题目我们需要一个正的字符串,还需要一个反的字符串,然后如果正字符串等于反的字符串,那么奇数回文串就2+1,偶数回文串就直接2即可.之所以要这么做,因为我们是要回文对不对,我们需要将回文拆解成为一个正字符串和一个反字符串,这样才好处理这道题目.

既然如此,我们可以算出一个前缀和,再算出一个后缀和,然后就可以知道,正字符串和一个反字符串.字符串的哈希值就是这个区间的哈希值和.

算完之后,我们当前就只需要枚举一个mid中间点,因为所有回文串都是有一个中间点(奇),或者中间区间(偶),然后二分分别寻找这个字符串长度即可,记住不是回文串,回文串的长度,是字符串长度* 2 + 1(奇) 或者是字符串长度 * 2(偶数).

切记如果说这个最大回文串为1(也就是所有字符都不一样,比如说abcdefg),那么输出是1,不是3,奇数回文串=奇数字符串*2+1,你们要小心特判这种情况,或者处理二分边界.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
#define fir(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fic(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define Mod 131 //P进制
const int N=1000007;
char s[N];
ull f1[N],f2[N],p[N];
int ans,t,l,r,mid;
ull Hash1(int i,int j)//正字符串的哈希值
{return (f1[j]-f1[i-1]*p[j-i+1]);
}
ull Hash2(int i,int j)//反字符串的哈希值
{return (f2[i]-f2[j+1]*p[j-i+1]);
}
void init()
{p[0]=1;//p^0为1fir(i,1,N-1)p[i]=p[i-1]*131;//P进制的位值
}
int main()
{init();while (++t){ans=0;scanf("%s",s+1);int len=strlen(s+1);if (strcmp(s+1,"END")==0) //结束读入return 0;f2[len+1]=0;//初始化要注意,不然的话容易GGfir(i,1,len) f1[i]=f1[i-1]*Mod+(s[i]-'a'+1);//前缀和fic(i,len,1)f2[i]=f2[i+1]*Mod+(s[i]-'a'+1);//后缀和fir(i,1,len){l=0,r=min(i-1,len-i);//二分枚举长度为奇数的字符串 记住这里l一定要为0,不然的话,你会发现最后一个数据会卡死你.while(l<r){mid=l+r+1>>1;if (Hash1(i-mid,i-1)==Hash2(i+1,i+mid))//如果这是一个回文串的话l=mid;elser=mid-1;}ans=max(l<<1 | 1,ans);//算出最大长度l=0,r=min(i-1,len-i+1);//偶数字符串while (l<r){mid=l+r+1>>1;if (Hash1(i-mid,i-1)==Hash2(i,i+mid-1))//check判断l=mid;elser=mid-1;}ans=max(l<<1,ans);//偶数字符串只需要*2}printf("Case %d: %d\n",t,ans);}return 0;
}

马拉车算法：代码有详细注释

#include<bit/stdc++.h>
#define Min(a,b) a>b?b:a
#define Max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
int Len[3000005];  //记录每个位置的最长回文子串的长度
char str[3000005],s[3000005];
int n,mx,id,len;  //mx记录前面最长回文串的最右位置，id记录前面最长回文子串的下标void init(){  //初始化函数，将字符串中插入特殊字符int k=0;  str[k++] = '$';  for(int i=0;i<len;i++){  str[k++]='#';  str[k++]=s[i];  }  str[k++]='#';  len=k;
}  int Manacher(){  Len[0] = 0;  int sum = 0;  mx = 0;  for(int i=1;i<len;i++){  if(i < mx) Len[i] = Min(mx - i, Len[2 * id - i]);  //如果当前位置比最右位置小，更新当前位置的长度else Len[i] = 1;  //比最右位置大，则只能一位一位枚举计算最大回文子串while(str[i - Len[i]]== str[i + Len[i]]) Len[i]++;  if(Len[i] + i > mx){//如果当前位置的回文子串的最右位置大于前面的，就更新其值  mx = Len[i] + i;  id = i;      sum = Max(sum, Len[i]);  //用sum来记录最大的回文子串长度}  }  return (sum - 1);
}  int main()
{  scanf("%d",&n);  while(n--){  memset(str,0,sizeof(str));scanf("%s",s);  len = strlen(s);  init();  int temp = Manacher();  printf("%d\n",temp);  }  return 0;
}