NR 物理层编码卷积码8-slide

前言：

这篇主要参考《武汉科技大学信息学院向森》的卷积码系列。

后面会继续分享一些海外教授对卷积码的研究.

参考

14.卷积码-卷积码概念和多种描述方式_哔哩哔哩_bilibili

15.卷积码-卷积码的概率译码原理_哔哩哔哩_bilibili

16.卷积码-卷积码的译码判决_哔哩哔哩_bilibili

17.卷积码-维特比译码_哔哩哔哩_bilibili

18.卷积码-卷积码勘误_哔哩哔哩_bilibili

卷积码的生成矩阵 - read.ppt

(n,k,N)卷积码的生成矩阵_Chenxr32的博客-CSDN博客_卷积码的生成矩阵怎么求

1：卷积码概念以及描述方法

2：译码原理

3：译码判决

4：维特比译码

5：生成矩阵

一卷积码概念以及描述方法

1.1 概念

定义（n,k,L）

输入k个比特，输出n个比特，移位寄存器个数为L, 历史状态为L-1个

输出由 $a_i,s_0,s_1$ 决定

$c_{i,0}=a_i+a_{i-1}+a_{i-2}$

$c_{i,1}=a_i+a_{i-2}$

1.2 状态图

1.3 状态转移图

矩形框中 $s_0s_1$ 表示编码器当前的状态

-> 表示状态转移的方向

箭头上的参数分别表示编码输入|编码输出 $a_i|c_{io}c_{i1}$

卷积码的状态图可以用于分析卷积码的性能

1.4 网格图

状态转移图看不到随时序变化的编码过程

输入为0,沿着上分支到下一个状态

输入为1,沿着下分支到下一个状态

一个参数为（n,k,N）的卷积码,共有N-1级缓存（去除当前信息位缓存）

每级缓存k个存储单元，共有k(N-1)位用于存储历史数据，则共有

$2^{k(N-1)}$ 个不同状态，每个状态有 $2^{k}$ 个到达和离去的分支

状态和分支的数目随着k和N 指数级增加，因此避免编译码的复杂化，

每个编码信息分组的位数k和编码输出的分组长度n 都取一个比较小的值

例题：

二译码原理

维特比是一种最大似然译码的方法，

我们发送的码字为 $c_i$ ,收到的码字为 $r_j$ 。

3.1 概率译码的原理

基于收到的码字预测出发送码字 $\hat{c_i}$ ，使得其概率最大

$\hat{c_i}=max_{c_i}P(c_i|r_j)$

$=max_{c_i}\frac{P(r_j|c_i)}{P(r_j)}$

$\equiv max p(r_j|c_i)$

当码元之间相互独立

$\hat{c_i}=argmax_{c_i} p(r_j|c_i)$

$=argmax_{c_i} log \prod_{m=1}^{M}P(r_{i,m}|c_{i,m})$

$=argmax \sum_{m=1}^{M}log P(r_{i,m}|c_{i,m})$

比如（2,1,2）4次输入,对应的输出为11 10 00 10

m = 4

概率论基础

发送码字：包含k个比特信息码字的集合

$C=\begin{Bmatrix} c_i \end{Bmatrix}, i=1,2....,2^k$

信源的先验概率

$P(c_i),i=1,2....2^k$

接收信号：

$R=\begin{Bmatrix} r_j \end{Bmatrix}, j=1,2....,2^k$

后验概率

$P(c_i|r_j)$ : 收到的码字为 $r_j$ ,发送的码字为 $c_i$ 的概率

转移概率

$P(r_j|c_i)$ 发送码字为 $c_i$ ,收到的码字为 $r_j$ 的概率

贝叶斯公式

$P(c_i|r_j)P(r_j)=P(r_j|c_i)P(c_i)$

$P(c_i|r_j)=\frac{P(r_j|c_i)p(c_i)}{P(r_j)}$

因为 $p(r_j),p(c_i)$ 为先验概率,认为是一个常数,经常用 $\frac{1}{N}$

最大似然译码

$c_i=max_{c_i} P(c_i|r_j)=max_{c_i\in C}\frac{p(r_j | c_i)}{p(r_j)}$

$=max p(r_j|c_i)\alpha_{ij}$

$=max p(r_j|c_i)$

三译码判决

3.1 数字通讯基本组成

3.2 发送流程：

经过信道编码后,为0,1的比特流,以QPSK为例,

会把0调制成电平幅度为-1,1调制成电平幅度为1的模拟信号（跟印度NTPL讲的相反）

$s_0=-A,s_1=A$

其中 $s_0$ 代表发送的是0,通常A为1,发送的时候

通常假设信道是高斯白噪声n

则接收到的信号的概率密度图如下

3.3 接收方解调器判决

接收方解调器收到的是模拟的波形,需要解调出数字信号,这个时候就需要判决。

有两种方案,硬判决和软判决。

硬判决给出的是一个离散值

软判决给出的是llr 概率值

收到的信号为:

$r=\left\{\begin{matrix} s_0+n,\sim(-A,\sigma^2)\\ s_1+n ,\sim(A,\sigma^2)\end{matrix}\right.$

解调器硬判决

$\hat{r}=sign(r)=\left\{\begin{matrix} 1:r>0\\ -1,else \end{matrix}\right.$

缺点：

如下 $r_1,r_2$ 与A的距离远近不同，也是其实际为1的概率不同

如果为硬判决都判决为1,但是其置信度不同,在差错控制译码时候

无法利用。

3.4 最大似然硬判决译码

这里面主要是信道解码器基于硬判决的结果，做最大似然计算

译码得到二进制序列。

假设信号的误码率P 为已知固定

接收码字序列 $R_j$ 长度为M,假设有 $d_i$ 位不同, $M-d_i$ 位一样

$P(R_j|C_i)=\prod_{m=1}^{M}P(R_{j,m}|C_{i,m})$

$=p^{d}(1-p)^{M-d}$ (这里面跟二项分布不一样,少了 $C_{M}^{d_i}$ ）

$log(P(R_j|C_i))=d_ilog\frac{p}{1-p}+Mlog(1-p)$

$=d_i\alpha+M \beta$

这里面错误概率一般认为是小于0.5，所以

$\alpha=log\frac{p}{1-p}<0,\beta=log1-p$

最大似然判决：

取满足下式的 $c_l$ 作为判决输出

$C_l= argmax_{i=1,2...}\sum_{m=1}^{M}logP(R_{j,m}|c_{i,m})$

则 $d_i$ 必须最小

3.5 最大似然软判决

这里面r 是一个连续的电平值

$P(R_j|c_i)=\prod_{m=1}^{M}P(r_{i,m}|c_{i,m})$

$=\prod_{m=1}^{M}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}e^{-(\frac{r_{j,m}-s_{i,m})^2}{2\sigma_n^2}}$

$logP(R_j|C_i)=Mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}-\frac{1}{2\sigma_n^2}\sum_{m=1}^M(r_{j,m}-s_{i,m})^2$

$C_l=argmax \sum_{m=1}^MlogP(r_{j,m}|c_{i,m})$

$=argmin_{i=1,2,...}\sum_{m=1}^{M}d_{ij,m}^2$

硬判决是码字间的汉明距离

软判决是码字间的欧式距离（电平差）

四维特比译码

4.1 设卷积码参数为(n,k,L)

$L_M$ : 输入信息的长度

码字的信息比特: $L_M*k$

码字空间大小： ${C} \in 2^{k*L_M}$

输出码字总长度为： $n*L_M$

例1 ：

输入 01000: $L_M=5,$

(2,1,2) $L_M=50$ ,码字的可能组合为 $2^{L_M}=2^{50}$

4.2 维特比译码思想

理论上网格图共有 $|{c}|=2^{L_M*k}$ 条路径（一个状态：0 为一条路径，1位1条路径，共2条）

维特比译码过程接收码字中一个码组，进行一次比较，比较后

选择若干最可能获得正确译码结果的码段做后续比较

通过删除大量获得正确译码可能性小的码段，达到减少运算量的目的。

4.3 结尾卷积码序列

参数为(n,k,L)的卷积码，在编码完信息码后，结尾继续输入L-1个0字符，

使得编码路径返回全0 状态

例：（2,1,3）结尾的序列：

最后会处于a,b,c,d 4种状态，连续输入两个0，最后会以a状态结尾

4.4 算法流程：

st1:

输入一个n位的编码码组,计算码组输入后新到达每个状态的 $2^{k}$ 个可能选留路径的度量值

每个状态仅保留其中度量值最大的路径作为选留路径。

如有相同值的路径，则任选其一.（实际只有一种路径，如果优化？）

度量值可根据选留路径与输入序列的相似程度来确定：

两者越相似，度量值越大

st2 译码时间参数t =t+1

if $t<L_M+L-1$

go st1

else

$t= L_M+L-1$

return

st3 : 输出

根据获得的最后一留选路径,获得相应的译码输出码字

5.5 定理

维特比译码算法：获得的幸存路径是具有最大似然函数的路径

证明：
设有最大似然函数的路径a,在时刻k,进入状态Sm被删除了。

则一定有另一条路径b的度量值超过了路径a的度量值。

即有到达状态Sm的最大似然函数的路径a与输入序列的距离,

大于另一条路径b与输入序列的距离.
则最大似然函数路径的剩余部分c（从时刻k到路径结束的部分）与路径b的度量值相加得到
总的路径度量值超过最大似然函数的总度量值，这与最大似然路径有最大度量值的定义是相互矛盾的，因此是不可能的。
根据该算法得到的一定时最大似然路径

五生成矩阵

5.1 子生成矩阵

(n,k,N)卷积码有N个子生成矩阵

$m=0,1,..N-1$

$g_m=\begin{bmatrix} g_m^{1,1} &g_m^{1,2} &... &g_m^{1,n} \\ g_m^{2,1} &g_m^{2,2} &... &g_m^{2,n} \\ ... & ...& ... & ...\\ g_m^{k,1} &g_m^{k,2} &... &g_m^{k,n} \end{bmatrix}$

假设输入为

$u=[u_1,u_2,...u_k]$

通过第m个寄存器,有n种编码输出

$c=[c_1,c_2,..c_n]=ug_m$

5.2 基本生成矩阵

有N个输入寄存器组,则基本生成矩阵为：

$G_B=[g_0,g_1,...g_{N-1}]$

5.3 生成矩阵

5.4: 生成元

$g^{i},i=1,2..,k$

$g^{i}=g_{0}^{i,1}g_0^{i,2}..g_{0}^{i,n},...,g_{N-1}^{i,1}g_{N-1}^{i,2}...g_{N-1}^{i,N}$

5.5 子生成元

$g^{i,j}=g_0^{i,j} g_1^{i,j}...g_{N-1}^{i,j}$

其中：

$g_{m}^{i,j}$ : m组输入寄存器比特的第i位与第j位个模二加法

$m=0,1...N-1$

$i=1,2.,,,k$

$j=1,2...n$

5.6 例子

说明：

子生成元

$g^{1,1}=g_0^{1,1}g_0^{1,1}g_0^{1,1}g_0^{1,1}g_0^{1,1}$ = 1 0 0 1 1

$g^{1,2}=g_0^{1,2}g_1^{1,2}g_2^{1,2}g_3^{1,2}g_4^{1,2}$ = 1 1 1 0 1

生成元 $g^{1}=g_0^{1,1}g_0^{1,2}g_1^{1,1}g_1^{1,2}g_2^{1,1}g_2^{1,2}g_3^{1,1}g_3^{1,2}g_4^{1,1}g_4^{1,2}$

就是按列取元素叠加

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