MLS（移动最小二乘）

1.拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其他函数，而是通过系数向量和基函数来决定在某个x处的值。

2.引入紧支的概念，认为在x处的值y只受到x附近子域内的节点的影响。这个子域称作是x的影响区域，影响区域外的节点对x处的取值没有影响。影响区域内的每个节点对x处的取值的影响是不一样的。所以需要一个权函数来定义每个节点的影响。

从上述的阐述来看，如果取不同的基函数，不同的权函数，不同的影响区域范围，可以得到不同的拟合效果。

下面介绍一下算法：

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。

常用范数

这里以Cn空间为例，Rn空间类似。

最常用的范数就是p-范数。若

，那么

可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski）不等式。

当p取

的时候分别是以下几种最简单的情形：

1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数：║x║2=（│x1│2+│x2│2+…+│xn│2）1/2

∞-范数：║x║∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│）

其中2-范数就是通常意义下的距离。

对于这些范数有以下不等式：║x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n1/2║x║2 ≤ n║x║∞

另外，若p和q是赫德尔（Hölder）共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：

当p=q=2时就是柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

如果直接求解出a，那么可以算出在x处的函数值了。

介绍一下权函数：

在影响区域内，权函数非负，并且沿径向单调递减，即随着到当前x处的距离的增加而递减。比如：

大概的程序流程：

一个例子的matlab code：

clc;clear;
%曲线拟合

x=[0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0];
y=[0, 4, 5, 14, 15, 14.5, 14, 12, 10, 5, 4];
scatter(x,y,'filled');
len_x = length(x);

max_x = max(x);
min_x = min(x);

num = 100;
delta = (max_x-min_x)/num;
x_f =[];
f =[];
max_delta = (max_x-min_x)*3/10;
for i=0:num
    x_val = min_x + i*delta;
    x_f = [x_f,x_val];
    A = zeros(2,2);
    B = [];
    for j=1:len_x
        s = abs(x(j)-x_val)/max_delta;
        if s<=0.5
            w = 2/3-4*s^2+4*s^3;
        elseif s<=1
            w = 4/3-4*s+4*s^2-4*s^3/3;
        else
            w = 0;
        end
        A = A + w*[1;x(j)]*[1,x(j)];
        B = [B,w*[1;x(j)]];
    end
    f =[f,[1,x_val]*inv(A)*B*y'];
end
hold on
plot(x_f,f,'r');

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